Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais

Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrência desta necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de idade algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos números naturais, afinal de contas era necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e mesmo desconhecendo a existência dos números, você já sentia a necessidade de um sistema de numeração.

Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos numéricos, que é o conjunto dos números naturais. Com a utilização deste conjunto você pode enumerar brinquedos ou simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo.

Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma representação do conjunto dos números naturais:

As chaves são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são infinitos.

Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto do conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete:

Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um dos outros quatro conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere asterisco após a letra, como em . Temos então que:

Conjunto dos Números Inteiros

Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da existência de números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero. Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu interesse, resolveu lhe explicar:

Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em torno dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais, como então representar uma temperatura ainda mais baixa?

Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é nulo.

O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z ( ).

A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros:

Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos possuem um número inicial, o zero, os números inteiros assim como os demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por assim dizer, um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois para cada número à sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda.

Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido em outro, ou que é um subconjunto seu, como o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, temos que .

Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros contém ( ) o conjunto dos números naturais (  ).

Como supracitado podemos escrever para representarmos o conjunto dos números inteiros, mas sem considerarmos o zero:

Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais conjuntos numéricos fundamentais podemos utilizar os caracteres "+" e "-" como abaixo:

Note também que e que .

Conjunto dos Números Racionais

Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além disto. No termômetro você viu que entre um número e outro existiam várias marcações. Qual a razão disto?

Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 20° C para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para passar de 20° C para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C. Estes são números pertencentes ao conjunto dos números racionais.

Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.

O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como , assim como 0,375 pode ser expresso como e 0,2 por ser representado por .

Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que é um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser representada como , mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser expresso como .

O conjunto dos número racionais é representado pela letra Q ( ).

O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais, temos então que .

Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números racionais negativos e que representa o conjunto dos números racionais positivos ou nulo.

Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do conjunto dos números racionais:

A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números racionais quaisquer terá como resultado também um número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos:

Conjunto dos Números Irracionais

Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos desta forma?"

Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI ( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma característica dos números irracionais.

A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito é um número irracional. é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já é um número natural, pois .

A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais.

Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por .

O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais:

Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto pertencer a .

Conjunto dos Números Reais

Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( ), assim como um número inteiro também é um número racional ( ), portanto .

Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio:

A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a intersecção entre estes dois conjuntos será .

O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos por: .

A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a união entre estes dois conjuntos será .

O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais ( ), assim como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais ( ).

Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números reais positivos por .

Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:

Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama

Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.

Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais ( ) é resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais ( ). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais ( ) e que os números naturais são um subconjunto do números inteiros ( ).

Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais ( ), mas não são números irracionais (  ), isto porque o conjunto dos números irracionais não contém o conjunto dos números naturais ( ), mas sim o conjunto números dos racionais que os contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais ( ) e dos inteiros ( ).

 

Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx

 

Conjuntos Numéricos

Acho que uma das maiores dificuldades para quem inicia em um curso de engenharia é conseguir acompanhar as aulas de cálculos. São vários os motivos para esse empasse. Muitas vezes, por ter vindo da escola pública e bem sabemos que infelizmente o Brasil não é o top na educação pública ou por ter tido aquele professor que não tinha didática e passou vários anos explicando matemática para as paredes. 

Pensando nisso, resolvi abordar os temas de uma forma evolutiva começando do começo de tudo e depois ir evoluindo a cada postagem. Irei usar esse método com todas as matérias. Vamos lá?

Conjuntos Numéricos

As pessoas têm a mania de ser agrupar nos lugares. Pode observar, no trabalho sempre se formam grupinhos, na faculdade, na vizinhança, no cursinho de inglês, enfim, em todos os lugares. 

Os números também são assim, eles se agrupam quando tem características comuns. Formam uma espécie de "panelinha". Na matemática, esses grupos são chamados de CONJUNTOS NUMÉRICOS.

Agora que você entendeu o conceito de conjunto, vamos conversar sobre quais são os conjuntos numéricos que existem. 

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 

Sabe contar de 1 a 1.000.000? Todos esses números e muitos mais, infinitamente mais são considerados NÚMEROS NATURAIS. De uma forma bonitinha de dizer, os números naturais são todos os números positivos. O conjunto é representado pela letra N. 

Tem um detalhe: Se o simbolo for N - irá incluir o Zero. Agora se o N tiver um asterisco assim N* - Não irá incluir o Zero. 

Entendeu?? 

É assim:

 N SEM ASTERISCO - vai incluir o zero - {0,1,2,3,4,5,6,...}

 N* COM ASTERISCO - não vai incluir o zero - {1,2,3,4,5,6,...}

CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS 

Lembra quando você ficou todo animado porque tinha aprendido a fazer continhas e mais e menos e a sua professora veio com uma nova: os números negativos. Pois é, os números negativos fazem parte do conjunto dos NÚMEROS INTEIROS, representado pela letra Z. Além dos números negativos, os números do conjunto dos naturais também fazem parte dele. 

Portanto, Z = Números positivos + os Números negativos.

Z= {......-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 

Nesse conjunto temos todos os números naturais, os números inteiros e uma novidade: os números decimais finitos e infinitos. Um número decimal  pode ser uma fração ou um número com vírgula. Também existem os números decimais periódicos  ou dizimas periódicas  são aqueles que contem os números após a virgula repetidos. 

Todo mundo tem uma certa dificuldade para fazer cálculos com esse tipo de número mas uma dica que eu sempre dou pro pessoal é pense em dinheiro. Todo mundo sabe contar dinheiro, então todo mundo sabe fazer operações com números decimais. 

Voltando ao conjunto dos racionais, a representação matemática dele é o Q.

Certo?? Portanto: 

Q = {:      }

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Existem uns números que são no mínimo estranhos. Compara eles com aquela sua prima estranha que usa aparelho e óculos e tem um montão de espinhas. Mas um monte mesmo... sem o sabonete assepsia que tem aquele comercialzinho coma as meninas do rebelde que de maninas não tem nada de novas devem ter no minimo uns trinta anos. Então os Irracionais são assim: feios por fora mais uma doçura por dentro. 

Falando mais matematicamente  os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos em forma de fação a/b. Assim como existem as dizimas periodicas, existem também as não periodicas que são justamente os famosos números IRRACIONAIS.

Tem  dois tipos de números irracionais: os ALGÉBRICOS e os TRANSCEDENTES. Os algébricos são raizes inexatas e os transcedentes são alqueles que complementam os irracionais algébricos como por exemplo o mais amado e misterioso numero O PI. 

Vale lembrar que na hora de fazer aquelas contas deliciosas que te deixam de cabelo branco, sempre devemos usar seus valores aproximados, já que são dizimas não-periodicas. 

Vamos a um exemplo classico da irracionalidade : raiz quadrada de 2. O valor aproximado é igual a 1,414. Não existe numero exato que multiplicado por ele mesmo duas vezes dê dois. Entendeu??

Agora umas regrinhas para você conseguir identificar um numero irracional:

TODAS AS DÍZIMAS NÃO PERIODICAS SÃO IRRACIONAIS

TODAS AS RAIZES INEXATAS SÃO IRRACIONAIS

A DIFERENÇA DE DOIS NUMEROS IRRACIONAIS PODE SER UM NÚMERO RACIONAL

O PRODUTO DE DOIS NUMEROS IRRACIONAIS PODE SER UM NUMERO RACIONAL. 

A INTERSECÇÃO DO CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS COM O CONJUNTO DOS NUMERO IRRACIONAIS, NÃO POSSUI ELEMENTOS EM COMUM, POR ISSO, É IGUAL AO CONJUNTO VAZIO.

CONJUNTO DOS NUMEROS REAIS 

É muito simples:  junta tudo o que eu escrevi e você passou todo esse tempo lendo e você tem os números REAIS. Ele contem os naturais, os inteiros os irracionais e os números complexos. É representado pela letra R. 

 

Fonte: http://opequenoengenheiro.blogspot.com.br/

 

 

Para consulta:

 

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm