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segunda-feira, 28 de fevereiro de 2011

Probabilidade

PROBABILIDADE ( 1º. Parte)
I-EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer em um experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
Exemplos de Experimentos Aleatórios:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.

II - Espaço Amostral
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Ω= {K,C} onde K representa cara e C,coroa.

Lançar um dado e observar o número da face de cima.
Ω= {1,2,3,4,5,6}.

Atividades:
Dar um espaço amostral para cada experimento abaixo.
1º.) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
2º.) Uma letra contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é extraída e observada sua cor.

III – EVENTO
Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω. Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., X, Y, Z.

Exemplos:
1º.) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eis alguns eventos
A: ocorrência de um número ímpar. A = {1, 3, 5}.
B: ocorrência de número primo. B = {2, 3, 5}.
C: ocorrência de número menor que 4. C = {1, 2, 3}.
D: ocorrência de número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω.
E: ocorrência de número maior ou igual a 7. E = ϕ.

IV – Combinações de Eventos

União de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B.

Intersecção de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A ∩ B é a intersecção entre o evento A e o evento B.
Em particular, se A ∩ B = Ø, A e B são chamados mutuamente exclusivos.
Complementar de um Evento
Seja A um evento; então AC será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
Dizemos que AC é o evento complementar de A.

Exemplos:
2º.) Um dado é lançado e observado o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorrência de número par A = {2, 4, 6}
B: ocorrência de número maior ou igual a 4 B = {4, 5, 6}
C: ocorrência de número ímpar C = {1, 3, 5}
Então teremos:
A∪B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 4.
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
A ∩ B: ocorrência de um número par e um número maior ou igual a 4.
A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C: ocorrência de um número par e um número ímpar.
A ∩ C = ∅ (A e C mutuamente exclusivos).
AC: ocorrência de um número não par
AC = {1, 3, 5}
BC : ocorrência de um número menor que 4
BC = {1, 2, 3}

União de n Eventos
Seja A1, A2, ..., An uma sequência de eventos, então
⋃_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∪ A2 ∪ ...∪ An

Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos Aj ocorrer. Dizemos que A1, A2, ..., An.
Intersecção de n Eventos
Seja A1, A2, ...,An uma sequência de eventos, então

⋂_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∩ A2 ∩ ... An

Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos Aj ocorrerem simultaneamente.

Exemplos:
3º.) Um número é sorteado entre os 100 inteiros. Sejam os eventos Ai: ocorrência de um número maior que i, qualquer que seja i ∈ {1, 2, 3, 4}
Então:
A1 = {2, 3,: ...,100}
A2 = {3, 4, ..., 100}
A3 = {4, 5, ..., 100}
A4 = {5, 6, ... 100}

⋃_(i=1 )^4▒〖Ai= 〗
{2, 3, ..., 100}

⋂_(i=1)^4▒〖Ai= 〗
{5, 6, ..., 100}


Atividades:
3º.) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Seja Ω = {1, 2, 3, ..., 29, 30}. Descrever os eventos:
O número obtido é par,
O número obtido é ímpar,
O número obtido é primo,
O número obtido é maior que 16,
O número é múltiplo de 2 e 5,
O número é múltiplo de 3 ou de 8,
O número não é múltiplo de 6.

4º.) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados. Seja Ω o conjunto dos pares (a, b) onde a representa o número do dado verde e b do dado vermelho.
Descrever os eventos:
A: ocorre 3 no dado verde,
B: ocorrem números iguais nos dois dados,
C: ocorre número 2 em ao menos um dado,
D: ocorrem números cuja soma é 7,
E: ocorrem números cuja a soma é menor que 7.

5º.) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:
Ω = {(K, 1); (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6); (C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (c, 6)}.
Descrever os eventos:
A: ocorre cara,
B: ocorre número par,
C: ocorre o número 3,
A ∪ B,
B ∩ C,
A ∩ C,
AC,
CC.

V – Frequência Relativa
Num experimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que irá ocorrer, sabemos que alguns eventos ocorrem frequentemente e outros, raramente. Desejamos então, associar os eventos, números que nos dêem uma indicação quantitativa da ocorrência dos mesmos, quando o experimento é repetido muitas vezes, nas mesmas condições.

Exemplos:
4º.) Se lançarmos um dado 100 vezes (N = 100) e observarmos o número 2 (evento 2) 18 vezes, então, a freqüência relativa desse evento elementar será:
F2 = 18/100 = 0,18.

VI - Definição de Probabilidade
A freqüência relativa nos dá uma informação quantitativa da ocorrência de um evento, quando o experimento é realizado um grande número de vezes. Ao definirmos um número associado a cada evento, que tenha características da freqüência relativa, dá-se o nome de probabilidade.
Exemplos:
4º.) Ω = {a1, a2, a3, a4}.
Consideremos a distribuição de probabilidades:
p1 = 0,1; p2 = 0,3; p3 = 0,2 e p4 = 0,4.
Seja o evento A = {a1, a2, a3, a4}. Então, por definição:
P (A) = p1 + p2 + p4 = 0,1 + 0,3 + 0,4 = 0,8.
5º.) Uma moeda é lançada e observada a face de cima.
Temos:
Ω = {K, C}
Uma distribuição razoável para Ω seria: p1 = p2 = ½.
Isto significa que admitimos que a freqüência relativa de caras e de coroas é próxima de ½ quando a moeda é lançada muitas vezes.
Experiências históricas foram feitas por Buffon, que lançou uma moeda 4048 vezes e observou o resultado cara 2048 vezes (freqüência relativa de caras: 2048/4048 = 0,5059).


VII – Espaços Amostrais Equiprováveis

Seja Ω = {a1, a2, a3, a4,...ak}. Uma distribuição de probabilidades sobre Ω é equiprovável, se p1 = p2 = p4 = ...pk isto é, se todos os eventos elementares de Ω tiveram a mesma probabilidade.
Exemplos:
5º.) De um baralho de 52 cartas, uma delas é escolhida.
Seja: Ω = {2c, 2o, 2e, 2p, 3c, 3o, 3e, 3p, ..., Ac, Ao, Ae, Ap}.
Os índices c, o, e, p indicam, respectivamente, naipe de copas, ouros, espadas e paus.
É razoável supor que cada evento elementar tenha a mesma probabilidade. Como temos 52 elementos em Ω então a probabilidade de qualquer evento é:
P = 1/52.
Seja o evento A: a carta é um rei.
Então: A = {Kc, Ko, Ke, Kp}
P (A) 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 1/13.

Atividades:
6º.) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
O número 2;
Um número par;
Um número múltiplo de 3.

7º.) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

As duas cartas são “damas”;
As duas cartas são de “ouros”.

8º.) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
O número 1;
Um número primo;
Um número divisível por 2;
Um número menor que 5;
Um número maior que 6.
9º.) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
Os números são iguais;
A soma dos números é igual a 9.
10º.) Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo-se probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente?
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8?
Observarmos um número não múltiplo de 5?
11º.) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de:
Ocorrer número par,
Ocorrer número maior ou igual a 5.




luciocarnauba@ibest.com.br
PCOP de Matemática do Ensino Fundamental II da DERO

Um comentário:

  1. Como eu poderia resolver a questão 5 (Uma moeda e um dado são lançados...) ??

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