Atenção Alunos! - - - OBMEP 2022 - - - E.E. P.E.I. "Professor Orlando Geríbola"
Vamos nos preparar!
Vamos nos preparar!
ENEM/INEP - 2021
Confira as datas das provas
Impresso - 17 e 24/1/2021
Digital - 31/1 e 7/2/2021
Fonte: https://enem.inep.gov.br/
ENEM/2017
Dias 5 e 12 de novembro.
ENEM/2017
Dias 5 e 12 de novembro.
Revisitando Questões de Mediana e Média - ENEM 2012 e 2014
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Pelo gráfico apresentado acima temos uma quantidade de valores par, devemos então somar os dois valores centrais e dividir o resultado por 2 (dois) para encontrar a Mediana. Trata-se de uma Medida de Tendência Central.
Temos então: 298.041 + 212.952 = 510.993 e
Dividindo 510.993/2 = 255.496.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Devemos observar com muito cuidado essa questão, porque são 4 (quatro) notas por candidatos e algumas delas não estão ordenadas. Precisamos ordená-las para assim efetuar a soma dos termos centrais e dividir o resultado por 2 (dois).
K - 33; 33; 33 e 34;
L - 32; 33; 34 e 39;
M - 34; 35; 35 e 36;
N - 24; 35; 37 e 40 e
P - 16; 26; 36 e 41.
K - Termos Centrais - 33 + 33 = 66; 66/2 = 33;
L - Termos Centrais - 33 + 34 = 67; 67/2 = 33,5;
M - Termos Centrais - 35 + 35 = 70; 70/2 = 35;
N - Termos Centrais - 35 + 37 = 72; 72/2 = 36 e
P - Termos Centrais - 26 + 36 = 62; 62/2 = 31.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Devemos somar as receitas brutas dos anos de 2009, 2010 e 2011, para calcular a Média Aritmética e devemos dividir o resultado por 3 (três) que corresponde aos 3 (três) anos da situação-problema.
Temos:
V = 660/3 = 220;
W = 630/3 = 210;
X = 675/3 = 225;
Y = 690/3 = 230 e
Z = 615/3 = 205.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Essa questão trata também da Média Aritmética, devemos observar que são 10 (dez) notas atribuídas em duas áreas do conhecimento por 5 (cinco) avaliadores.
Vamos somar essas notas: (18+16+17+13+14+1+19+14+16+12), o resultado é: 140.
Vamos dividir 140/10, o resultado é 14 (Média Aritmética).
Agora devemos descartar a maior nota 19 (dezenove) e a menor nota 1 (um) e calcular uma nova Média Aritmética.
Vamos somar essas 8 (oito) notas: (18+16+17+13+14+14+16+12), o resultado é: 120.
Vamos dividir 120/8, o resultado é 15 (Média Aritmética).
Podemos concluir que a nova Média Aritmética é 1,0 ponto maior que a Média Aritmética calculada anteriormente.
Fonte das Questões: Internet
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Pelo gráfico apresentado acima temos uma quantidade de valores par, devemos então somar os dois valores centrais e dividir o resultado por 2 (dois) para encontrar a Mediana. Trata-se de uma Medida de Tendência Central.
Temos então: 298.041 + 212.952 = 510.993 e
Dividindo 510.993/2 = 255.496.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Devemos observar com muito cuidado essa questão, porque são 4 (quatro) notas por candidatos e algumas delas não estão ordenadas. Precisamos ordená-las para assim efetuar a soma dos termos centrais e dividir o resultado por 2 (dois).
K - 33; 33; 33 e 34;
L - 32; 33; 34 e 39;
M - 34; 35; 35 e 36;
N - 24; 35; 37 e 40 e
P - 16; 26; 36 e 41.
K - Termos Centrais - 33 + 33 = 66; 66/2 = 33;
L - Termos Centrais - 33 + 34 = 67; 67/2 = 33,5;
M - Termos Centrais - 35 + 35 = 70; 70/2 = 35;
N - Termos Centrais - 35 + 37 = 72; 72/2 = 36 e
P - Termos Centrais - 26 + 36 = 62; 62/2 = 31.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Devemos somar as receitas brutas dos anos de 2009, 2010 e 2011, para calcular a Média Aritmética e devemos dividir o resultado por 3 (três) que corresponde aos 3 (três) anos da situação-problema.
Temos:
V = 660/3 = 220;
W = 630/3 = 210;
X = 675/3 = 225;
Y = 690/3 = 230 e
Z = 615/3 = 205.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: Essa questão trata também da Média Aritmética, devemos observar que são 10 (dez) notas atribuídas em duas áreas do conhecimento por 5 (cinco) avaliadores.
Vamos somar essas notas: (18+16+17+13+14+1+19+14+16+12), o resultado é: 140.
Vamos dividir 140/10, o resultado é 14 (Média Aritmética).
Agora devemos descartar a maior nota 19 (dezenove) e a menor nota 1 (um) e calcular uma nova Média Aritmética.
Vamos somar essas 8 (oito) notas: (18+16+17+13+14+14+16+12), o resultado é: 120.
Vamos dividir 120/8, o resultado é 15 (Média Aritmética).
Podemos concluir que a nova Média Aritmética é 1,0 ponto maior que a Média Aritmética calculada anteriormente.
Vamos somar essas notas: (18+16+17+13+14+1+19+14+16+12), o resultado é: 140.
Vamos dividir 140/10, o resultado é 14 (Média Aritmética).
Agora devemos descartar a maior nota 19 (dezenove) e a menor nota 1 (um) e calcular uma nova Média Aritmética.
Vamos somar essas 8 (oito) notas: (18+16+17+13+14+14+16+12), o resultado é: 120.
Vamos dividir 120/8, o resultado é 15 (Média Aritmética).
Podemos concluir que a nova Média Aritmética é 1,0 ponto maior que a Média Aritmética calculada anteriormente.
Fonte das Questões: Internet
Questão Muito Interessante! ENEM 2016
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: O primeiro dado que a questão nos fornece é a altura da menina aos 3 (três) anos de idade, são 85 (oitenta e cinco) centímetros.
Em seguida devemos observar no gráfico qual é a altura desta mesma menina aos 4 (quatro) anos e 4 (quatro) meses, valor este que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50 (cinquenta). Observar que o eixo horizontal (idade) apresenta o mês completo e ano), está discriminado.
No gráfico temos então: 105 (cento e cinco) centímetros.
Calculando a diferença para saber o aumento da menina em centímetros, temos: 105 cm - 85 cm = 20 cm.
Para sabermos o percentual de crescimento devemos dividir: 20/85, temos como resultado: 0,235... que multiplicado por 100 (cem) corresponde a 23,5% aproximadamente.
Se a sua dificuldade é a divisão, observe inicialmente que 20 é menor que 85 e é interessante que você iguale as casas decimais. Para isso acrescente um 0 (zero) ao dividendo e coloque 0, (zero seguido de vírgula) no quociente. Agora sim, temos no quociente: 0,235....
Lembre-se que ao acrescentarmos 0 (zero) ao resto não alteramos o quociente colocando zeros.
Comentários do PCNP de Matemática Lúcio: O primeiro dado que a questão nos fornece é a altura da menina aos 3 (três) anos de idade, são 85 (oitenta e cinco) centímetros.
Em seguida devemos observar no gráfico qual é a altura desta mesma menina aos 4 (quatro) anos e 4 (quatro) meses, valor este que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50 (cinquenta). Observar que o eixo horizontal (idade) apresenta o mês completo e ano), está discriminado.
No gráfico temos então: 105 (cento e cinco) centímetros.
Calculando a diferença para saber o aumento da menina em centímetros, temos: 105 cm - 85 cm = 20 cm.
Para sabermos o percentual de crescimento devemos dividir: 20/85, temos como resultado: 0,235... que multiplicado por 100 (cem) corresponde a 23,5% aproximadamente.
Se a sua dificuldade é a divisão, observe inicialmente que 20 é menor que 85 e é interessante que você iguale as casas decimais. Para isso acrescente um 0 (zero) ao dividendo e coloque 0, (zero seguido de vírgula) no quociente. Agora sim, temos no quociente: 0,235....
Lembre-se que ao acrescentarmos 0 (zero) ao resto não alteramos o quociente colocando zeros.
Muito Interessante essa questão!
Comentário do PCNP: Primeiramente teríamos que identificar a unidade, a dezena e a centena (simples). Depois teríamos que identificar a casa de maior valor posicional subsequente, no caso a casa do milhar. Teríamos então a unidade de milhar, a dezena de milhar e a centena de milhar.
Identificando: 1 (um); 7 (sete); 1 (um); 0 (zero); 6 (seis) e 4 (quatro). Fazendo a leitura temos: 460.171.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-158
Comentário do PCNP: Primeiramente teríamos que identificar a unidade, a dezena e a centena (simples). Depois teríamos que identificar a casa de maior valor posicional subsequente, no caso a casa do milhar. Teríamos então a unidade de milhar, a dezena de milhar e a centena de milhar.
Identificando: 1 (um); 7 (sete); 1 (um); 0 (zero); 6 (seis) e 4 (quatro). Fazendo a leitura temos: 460.171.
ENEM 2016 - Questões interessantes!
Comentários do PCNP: Primeiramente vamos pensar nas informações que precisamos para iniciar a resolução desta questão. São necessários 5 (cinco) frascos de soro durante 24 (vinte e quatro) h (horas), cada frasco tem volume de 800 mL de soro. Logo temos: 5.800 mL = 4000 mL (quatro mil mililitros).
Agora temos que pensar: Quanto é 40% (quarenta por cento) de 4000 mL?
Cálculo Mental é uma possibilidade:
10% de 4000 = 400;
20% de 4000 = 800;
30% de 4000 = 1200;
40% de 4000 = 1600.
Portanto temos: 1600 mL (40%).
Nas primeiras 4 (quatro) horas temos, 1600 mL.
Vamos verificar para as demais 20 (vinte) horas!
Deverá receber então a diferença de 4000 mL, que corresponde a 4000 mL - 1600 mL = 2400 mL.
A quantos minutos correspondem 20 horas?
1 hora é igual a 60 minutos, então 20 horas corresponde a 60.20 que é igual a 1200 minutos.
Em 1200 minutos receberá 2400 mL de soro. Estabelecendo a razão de 1200 para 2400, temos que cada 1 minuto está para 2mL.
Cada mililitro de soro corresponde a 12 (doze) gotas, então podemos pensar:
Como 1 mL corresponde a 12 gotas, logo o número de gotas que o paciente deverá receber será 24 gotas.
Comentários do PCNP: Primeiramente vamos pensar nas informações que precisamos para iniciar a resolução desta questão. São necessários 5 (cinco) frascos de soro durante 24 (vinte e quatro) h (horas), cada frasco tem volume de 800 mL de soro. Logo temos: 5.800 mL = 4000 mL (quatro mil mililitros).
Agora temos que pensar: Quanto é 40% (quarenta por cento) de 4000 mL?
Cálculo Mental é uma possibilidade:
10% de 4000 = 400;
20% de 4000 = 800;
30% de 4000 = 1200;
40% de 4000 = 1600.
Portanto temos: 1600 mL (40%).
Nas primeiras 4 (quatro) horas temos, 1600 mL.
Vamos verificar para as demais 20 (vinte) horas!
Deverá receber então a diferença de 4000 mL, que corresponde a 4000 mL - 1600 mL = 2400 mL.
A quantos minutos correspondem 20 horas?
1 hora é igual a 60 minutos, então 20 horas corresponde a 60.20 que é igual a 1200 minutos.
Em 1200 minutos receberá 2400 mL de soro. Estabelecendo a razão de 1200 para 2400, temos que cada 1 minuto está para 2mL.
Cada mililitro de soro corresponde a 12 (doze) gotas, então podemos pensar:
Como 1 mL corresponde a 12 gotas, logo o número de gotas que o paciente deverá receber será 24 gotas.
ENEM/2016 - Questões Interessantes!
Comentários do PCNP: É importante saber qual é o conceito de média, neste caso devemos somar todos os dados do primeiro semestre e dividir pelo número de elementos (meses).
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-180
Comentários do PCNP: É importante saber qual é o conceito de média, neste caso devemos somar todos os dados do primeiro semestre e dividir pelo número de elementos (meses).
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-180
ENEM/2016 - Questões Interessantes!
Comentários do PCNP: É interessante que trabalhamos esses conceitos de diferentes vistas, principalmente nos sextos anos dos anos finais. Ao observar a cadeira acima é importante na minha opinião observarmos os pés da cadeira para termos uma dimensão de que irá formar um retângulo logo abaixo do tecido localizado na posição horizontal, destinado ao sentar.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-180
Comentários do PCNP: É interessante que trabalhamos esses conceitos de diferentes vistas, principalmente nos sextos anos dos anos finais. Ao observar a cadeira acima é importante na minha opinião observarmos os pés da cadeira para termos uma dimensão de que irá formar um retângulo logo abaixo do tecido localizado na posição horizontal, destinado ao sentar.
ENEM/2016 - Questão Interessante!
ENEM/2016
Comentários do PCNP Lúcio:
MODA
4
4+4-3=5
5+1-1=5
5+2-2=5
5+2+0=7
7+2-6=1
Série: 4; 5; 5; 5; 7 e 1.
Qual é o conceito de Moda?
É o valor que mais aparece em uma série estatística.
ENEM/2016
Comentários do PCNP Lúcio:
MODA
4
|
4+4-3=5
|
5+1-1=5
|
5+2-2=5
|
5+2+0=7
|
7+2-6=1
|
ENEM/2016 - Questões Interessantes!
Observações do PCNP Lúcio:
ENEM/2016
Razões
2g
50g
2/50
1/25
0,04
5g
40g
5/40
1/8
0,125
5g
100g
5/100
1/20
0,05
6g
90g
6/90
1/15
0,066...
7g
70g
7/70
1/10
0,1
Observações do PCNP Lúcio:
ENEM/2016
Razões
2g
|
50g
|
2/50
|
1/25
|
0,04
|
5g
|
40g
|
5/40
|
1/8
|
0,125
|
5g
|
100g
|
5/100
|
1/20
|
0,05
|
6g
|
90g
|
6/90
|
1/15
|
0,066...
|
7g
|
70g
|
7/70
|
1/10
|
0,1
|
ENEM/2016 - Muito Interessante!
Média Aritmética
Conceito
237 + 262 + 158 + 159 + 160 + 278 + 300 + 278 = 1832
1832/8 = 229
10.5 (acima da média) + 3 (abaixo média).7 = 50 + 21 = 71
PCNP Lúcio
Média Aritmética
Conceito
237 + 262 + 158 + 159 + 160 + 278 + 300 + 278 = 1832
1832/8 = 229
10.5 (acima da média) + 3 (abaixo média).7 = 50 + 21 = 71
PCNP Lúcio
ENEM/2016 - Escala - Muito Interessante!
Comentários do PCNP Lúcio: A escala determinada 1:8 (1 está para 8), determina que façamos a divisão de cada medida por 8 (oito). Portanto 220 (duzentos e vinte) cm de altura ficará em escala, 220:8 = 27,5; 120 (cento e vinte) cm de largura ficará em escala, 120:8 = 15 e 50 (cinquenta) cm de profundidade ficará em escala, 50:8 = 6,25.
Redução para caber na folha de 20%:
Quanto é 20% de 27,5?
27,5.20/100 = 27,5.0,20 = 5.5
27,5 - 5,5 = 22 cm
Quanto é 20% de 15?
15.20/100 = 15.0,20 = 3
15 - 3 = 12 cm
Quanto é 20% de 6,25?
6,25.20/100 = 6,25.0,20 = 1,25
6,25 - 1,25 = 5 cm
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-176
Comentários do PCNP Lúcio: A escala determinada 1:8 (1 está para 8), determina que façamos a divisão de cada medida por 8 (oito). Portanto 220 (duzentos e vinte) cm de altura ficará em escala, 220:8 = 27,5; 120 (cento e vinte) cm de largura ficará em escala, 120:8 = 15 e 50 (cinquenta) cm de profundidade ficará em escala, 50:8 = 6,25.
Redução para caber na folha de 20%:
Quanto é 20% de 27,5?
27,5.20/100 = 27,5.0,20 = 5.5
27,5 - 5,5 = 22 cm
Quanto é 20% de 15?
15.20/100 = 15.0,20 = 3
15 - 3 = 12 cm
Quanto é 20% de 6,25?
6,25.20/100 = 6,25.0,20 = 1,25
6,25 - 1,25 = 5 cm
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-176
ENEM/2016 - Questão Interessante!
Média Aritmética
21 + 22 + 25 + 31 + 21 = 120
120/5 = 24
Do estoque inicial restaram 228 - 120 = 108 vacinas.
O posto deverá adquirir então 12.24 = 288 - 108 = 180 vacinas.
Média Aritmética
21 + 22 + 25 + 31 + 21 = 120
120/5 = 24
Do estoque inicial restaram 228 - 120 = 108 vacinas.
O posto deverá adquirir então 12.24 = 288 - 108 = 180 vacinas.
ENEM/2016 - Progressão Aritmética - Muito Interessante!
Comentários do PCNP Lúcio: O primeiro passo é observar a sequência inicial referente ao reparos feitos por João: 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Esta sequência tem razão igual a 2, r = 3-1=2; r = 5-3=2; 7-5=2.
Na sequência referente a Pedro que trabalhou na parte elétrica temos: 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente de três em três andares. Esta sequência tem razão igual a 3, r = 4-1=3; r = 7-4=3; 10-7=3.
O que há de comum entre os elementos das duas sequências, temos: (1, 7, 13...).
Agora podemos pensar no termo geral de uma P.A..
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-170
Comentários do PCNP Lúcio: O primeiro passo é observar a sequência inicial referente ao reparos feitos por João: 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Esta sequência tem razão igual a 2, r = 3-1=2; r = 5-3=2; 7-5=2.
Na sequência referente a Pedro que trabalhou na parte elétrica temos: 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente de três em três andares. Esta sequência tem razão igual a 3, r = 4-1=3; r = 7-4=3; 10-7=3.
O que há de comum entre os elementos das duas sequências, temos: (1, 7, 13...).
Agora podemos pensar no termo geral de uma P.A..
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-170
ENEM/2016 - Média - Questão Interessante!
Comentários do PCNP Lúcio: Primeiramente precisamos calcular a média do lucro neste período de 7 (sete) meses, adicionamos o lucro (37+33+35+22+30+35+25) e dividimos pelo número de meses (elementos).
Devemos então observar onde a média mais se aproxima do resultado na tabela.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-167
Comentários do PCNP Lúcio: Primeiramente precisamos calcular a média do lucro neste período de 7 (sete) meses, adicionamos o lucro (37+33+35+22+30+35+25) e dividimos pelo número de meses (elementos).
Devemos então observar onde a média mais se aproxima do resultado na tabela.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-167
ENEM/2016 - Questão Interessante!
Razões
14/400
7/200
0,035
0,035 x100 = 3,5
6/500
3/250
0,012
0,012 x 100 = 1,2
13/520
1/40
0,025
0,025 x 100 = 2,5
9/360
1/40
0,025
0,025 x 100 = 2,5
15/500
1/33,33...
0,03
0,03 x 100 = 3,0
Observações do PCNP Lúcio.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-164
https://drive.google.com/file/d/0B9TGpexUevvtXzlQdlNNX3ZGbms/view?usp=sharing (OBMEP)
http://tvescola.mec.gov.br/tve/serie/hora-do-enem/home
Estudar para o #Enem2016 ficou ainda melhor... Isso mesmo!
Com o portal#HoradoEnem, você não precisa de cursinho e nem de professor part...
Razões
14/400
|
7/200
|
0,035
|
0,035 x100 = 3,5
|
6/500
|
3/250
|
0,012
|
0,012 x 100 = 1,2
|
13/520
|
1/40
|
0,025
|
0,025 x 100 = 2,5
|
9/360
|
1/40
|
0,025
|
0,025 x 100 = 2,5
|
15/500
|
1/33,33...
|
0,03
|
0,03 x 100 = 3,0
|
Observações do PCNP Lúcio.
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/provas-e-correcoes/2016/enem-2016---acompanhe-a-correcao-comentada/#amarela-2-164
https://drive.google.com/file/d/0B9TGpexUevvtXzlQdlNNX3ZGbms/view?usp=sharing (OBMEP)
http://tvescola.mec.gov.br/tve/serie/hora-do-enem/home
Questão do ENEM - Prova de Matemática
Comentários do PCNP Lúcio:
Resposta b - Habilidade - H24
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
Questão do ENEM - Prova de Matemática
Comentário do PCNP Lúcio: essa questão é muito interessante, sendo possível ser aplicada nos anos finais. Seis oitavos (6/8) é equivalente a três quartos (3/4); três quartos (3/4) corresponde a setenta e cinco centésimos (0,75) que multiplicado por cem (100) corresponde a setenta e cinco por cento (75%).
3:4 = 0,75
Logo a resposta correta é a alternativa: E - 3.
3:4 = 0,75
Logo a resposta correta é a alternativa: E - 3.
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
ENEM/MEDIANA
QUESTÃO 175 (PROVA AMARELA)
O GRÁFICO APRESENTA O COMPORTAMENTO DE EMPREGO FORMAL SURGIDO, SEGUNDO O CAGED, NO PERÍODO DE JANEIRO DE 2010 A OUTUBRO DE 2010.
COM BASE NO GRÁFICO, O VALOR DA PARTE INTEIRA DA MEDIANA DOS EMPREGOS FORMAIS SURGIDOS NO PERÍODO É
(A) 212 952.
(B) 229 913.
(C) 240 621.
(D) 255 496.
(E) 298 041.
SOLUÇÃO:
A MEDIANA É ENCONTRADA PELA MÉDIA ARITMÉTICA DOS DOIS TERMOS CENTRAIS, POIS O NÚMERO DE ELEMENTOS É PAR.
BASTA ENTÃO SOMAR: 246 875 + 212 952 = 229 913,5.
OBSERVE QUE DEVEMOS ORDENÁ-LOS PARA ENCONTRARMOS OS DOIS TERMOS CENTRAIS.
INTEIRO: 229 913.
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
Questão de Matemática - Prova do ENEM
Comentários do PCNP Lúcio: a princípio podemos ter uma tendência a observar e tentar efetuar o cálculo da média dos termos centrais, como é uma sequência de ordem par (tempo) em que os termos centrais estão nas raias 4 e 5. Porém deixando o nervosismo e a pressa de lado, temos que colocar em ordem os tempos (segundo) antes de efetuarmos a média destes 2 (dois) termos. Assim temos:
Tempo em ordem crescente: 20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90 e 20,96.
Mediana = Termos Centrais dividido por 2 (dois).
Portanto: Mediana = 20,80 + 20,90/2 = 20,85
Alternativa: D
Habilidade: H27
Questão do ENEM - Prova de Matemática
Comentários do PCNP Lúcio: calcular o volume do paralelepípedo retangular reto e os percentuais referentes as misturas a serem colocadas nesta embalagem.
10 x 20 x 10 = 2000 cm3
1000 x 25% = 250 cm3
1000 + 250 = 1250 cm3
2000 – 1250 = 750 cm3
Portanto:
600 x 25% = 150 cm3
600 + 150 = 750 cm3
1250 + 750 = 2000 cm3
Resposta correta: c
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
Questão de Matemática - Prova do ENEM
Comentários do PCNP de Matemática: essa questão foi muito bem construída na minha opinião, precisamos observar primeiramente o retângulo 10 x 32 (figura plana) e depois o paralelepípedo (figura espacial) para compreendermos o que está sendo proposto. A medida da largura do paralelepípedo (2,5 m) poderá ser colocada (caberá) quatro vezes no segmento (largura) do retângulo e a medida do comprimento do paralelepípedo (6,4 m) poderá ser colocada (caberá) cinco vezes no segmento (comprimento) do retângulo, 5 x 6,4 = 32 m.
Pensando apenas na largura e no comprimento temos a possibilidade de colocarmos 20 (vinte) figuras de forma retangular (4 x 5) referente ao paralelepípedo (não estou considerando neste momento a altura, h), no interior do retângulo (figura 2).
Sendo uma carga de 100 (cem) contêineres (figura 1), podemos então colocar 5 (cinco) pilhas sobrepostas e como a altura do paralelepípedo (figura espacial) é igual a 2,5 m, teremos:
5 x 2,5 = 12,5 m (altura mínima atingida).
Alternativa correta é a A.
Habilidade: H8.
Questão de Matemática - Prova do ENEM
Comentário do PCNP Lúcio: temos que lembrar de alguns conceitos dos anos finais que dizem respeito ao conceito de área de polígonos (figuras fechadas por segmentos de retas e que não "sofrem" reentrâncias). Temos que pensar no Trapézio, observar que ele tem uma base maior e uma base menor, sua área será determinada pela soma destas duas bases, multiplicado pela sua altura e dividido por 2 (dois). A área do retângulo é dada pela base multiplicada pela largura.
Nós professores utilizamos o papel quadriculado para explicar os conteúdos/conceitos de área e deixar mais claro, evitando a memorização de fórmulas.
A alternativa correta é a A, pois devemos fazer a diferença entre as áreas.
Habilidade: H8.
Prova de Matemática - ENEM 2015
Comentários do PCNP Lúcio: se temos uma caneta com 16,8 cm (real) e na escala ela está representada com 1,4 cm, podemos fazer uma regra de três simples ou podemos dividir 16,8 : 1,4 para verificarmos que cada 1 cm (escala) corresponde a 12 cm (real). Logo, 3,4 x 12 = 40,8 e 2,2 x 12 = 26,4, medidas reais do comprimento e da largura.
Alternativa correta: D
Questão de Matemática - ENEM 2015
Comentários do PCNP Lúcio: devemos observar inicialmente os segmentos de mesma medida que estão marcados em cada um dos cinco polígonos. Podemos dividir esses polígonos em triângulos de mesma área. Analisando as porcentagens temos: 60% (60/100) de carboidratos; 10% (10/100) de proteínas e 30% (30/100) de gorduras. Podemos dividir o pentágono em 5 (cinco) triângulos equiláteros e podemos perceber que 3 (três) desses triângulos correspondem cada um a 20% (20/100). Ao dividirmos o triângulo de número 4 (quatro) temos 50% (50/100) marcado portanto resta 10% deste e com relação ao triângulo de número 5 (cinco) temos 20% (triângulo equilátero) + 10% (50% do triângulo equilátero referente ao triângulo de número 4) = 30 % . Observar a representação (prova).
Alternativa correta: C
Habilidade: H9
Questão de Matemática - ENEM 2015
Comentários do PCNP Lúcio: é muito importante observar que ao abrirmos a dobradura teremos do outro lado da bandeirinha a mesma medida, ou seja, um quarto (segmento CB), podemos nomear com o ponto M. O ponto médio N, também é ponto médio do segmento FB. Ao traçarmos os segmentos: ON e NM, teremos como resposta a alternativa: E.
Questão do ENEM - Prova de Matemática
Comentários do PCNP Lúcio: são cem (100) alunos e vinte (20) destes estão entre 1 e 20, portanto a probabilidade é 20/100. A alternativa correta é a c. Habilidade H28.
Questões Comentadas do ENEM - 2013
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-147-matematica-758526.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-148-matematica-758528.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-149-matematica-758505.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-150-matematica-758504.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-151-matematica-758518.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-152-matematica-758508.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-153-matematica-758534.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-154-matematica-758515.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-155-matematica-758432.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-148-matematica-758528.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-149-matematica-758505.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-150-matematica-758504.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-151-matematica-758518.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-152-matematica-758508.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-153-matematica-758534.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-154-matematica-758515.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-155-matematica-758432.shtml
http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-156-matematica-758470.shtml
ENEM/SOLUÇÕES
Questão 170 (prova amarela)
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual.
As empresas que esse investidor escolher comprar são:
(A) Balas W e Pizzaria Y.
(B) Chocolates X e Tecelagem Z.
(C) Pizzaria Y e Alfinetes V.
(D) Pizzaria Y e Chocolates X.
(E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
ME
|
2009 (em milhares de reais)
|
2010 (em milhares de reais)
|
2011 (em milhares de reais)
|
Alfinetes V
|
200
|
220
|
240
|
Balas W
|
200
|
230
|
200
|
Chocolates X
|
250
|
210
|
215
|
Pizzaria Y
|
230
|
230
|
230
|
Tecelagem Z
|
160
|
210
|
245
|
Solução:
Deve-se calcular a média aritmética para cada uma das 5 empresas.
Os resultados respectivamente são: 220, 210, 225, 230 e 205.
Dúvidas!
Alfinetes V - somar 200 + 220 + 240 - resultado: 660.
Dividir esse resultado por 3 - resultado: 660:3 = 220.
Correta: Alternativa D
Comentários do PCNP Lúcio: leitura de gráficos de barras, é possível analisar cada situação individualmente e observar onde o percentual de participação em promoções do tipo sorteio ou concurso é maior em cada dupla de classe social, sendo a primeira A/B e a segunda C/D.
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
Questão do ENEM - Prova de Matemática
Comentários do PCNP Lúcio: leitura de gráficos de barras, é possível analisar cada situação individualmente e observar onde o percentual de participação em promoções do tipo sorteio ou concurso é maior em cada dupla de classe social, sendo a primeira A/B e a segunda C/D.
Podemos concluir então que no primeiro gráfico temos: a Internet e no segundo gráfico temos: Correios. A alternativa correta é a B.
Fonte: http://especiais.g1.globo.com/educacao/enem/2015/correcao-provas-enem/domingo/
OBMEP/2010 - Primeira Fase - Nível I
Observação: se nos imaginarmos como azulejistas e que iremos recobrir uma determinada superfície (área), teremos apenas duas posições que poderemos fixar individualmente este azulejo.
A primeira está desenhada logo acima, como uma peça individual e a segunda podemos observar por exemplo na figura B do lado direito.
Portanto na figura E não é possível estabelecer o padrão estabelecido, o azulejista teria que virar o azulejo ao contrário. Não é possível outro padrão por translação ou rotação.
OBMEP/2010 - Primeira Fase - Nível I
Observação: cada quadradinho pode ser dividido em 2 (dois) triângulos congruentes, como temos 16 (dezesseis) quadradinhos, teremos então: 16 x 2 = 32 triângulos.
A área em preto corresponde a 8 (oito) triângulos e portanto temos a fração 8/32 (oito trinta e dois avos). Simplificando essa fração podemos dividir o numerador e denominador por 8 (oito), fração equivalente então a 1/4 (um quarto) da área do quadrado.
Alternativa correta: C
OBMEP/2009 - Primeira Fase - Nível I
Observação: a área do quadrado é 12 x 12 = 144 centímetros quadrados, logo cada retângulo possui 144 : 3 = 48 centímetros quadrados de área.
Os dois retângulos de mesma altura possuem cada um seis centímetros de lado, portanto 12 : 2 = 6 cm. Sendo as áreas iguais a 48 centímetros quadrados, temos que os outros dois lados destes retângulos são iguais a 8 centímetros.
Portanto o perímetro de um destes retângulos de mesma altura (sombreado) será:
P = 6 + 6 + 8 + 8 = 28 centímetros.
OBMEP/2009 - Primeira Fase - Nível I
Observação: nas extremidades (vértices) do quadrado, 7 x 7, somente metade da região de cada quadradinho está sombreada. No interior da figura acima temos representado um octógono, se deslocarmos a área (região sombreada) destas extremidades para as extremidades do quadrado temos um total de 24 quadradinhos inteiros hachurados (região sombreada). Poderíamos contar: 7 + 6 + 6 + 5 = 24.
Observação: a letra c é a correta, pensando nas faces opostos e paralelas, temos: a face com 3 pontos oposta a face com 4 pontos, a face com 5 pontos oposta a face com 2 pontos e a face com 1 ponto oposta a face com 6 pontos.
Observação: a região cinza que localiza-se na parte superior pode preencher a área logo abaixo da região cinza da parte inferior na posição que vemos o quadrado acima. São 25 (vinte e cinco) quadradinhos no total (5 x 5), ou seja, 25 (vinte e cinco) centímetros quadrados de área.
Podemos perceber que 10 (dez) desses quadradinhos ficarão na região cinza mais a metade da terceira fileira de quadradinhos, pois temos um segmento (diagonal) dividindo na metade este retângulo.
Portanto a área da região cinza será metade da área total, 12,5 centímetros quadrados.
OBMEP/2012 - Primeira Fase - Nível I
Observação: nesta atividade existe uma necessidade de um trabalho em sala de aula com o papel quadriculado para que os alunos possam entender quais são os triângulos congruentes se forem traçados alguns segmentos.
Ao fazermos esses traçados iremos obter 3 (três) tipos diferentes de triângulos congruentes entre si. Esses triângulos são 4 (quatro) de cada tipo, sendo que a área em cada caso é a metade de cada tipo obtido a partir dos segmentos traçados.
Portanto se a área total é igual a 4 cm x 5 cm = 20 centímetros quadrados, a região cinzenta terá área igual a 10 centímetros quadrados.
OBMEP/2012 - Primeira Fase - Nível I
Observação: muito interessante essa atividade pois trata-se de uma sequência montada com palitos de fósforo e devemos ter clareza que são: 1 (um) triângulo, 3 (três) triângulos, 6 (seis) triângulos, ...
Devemos observar a figura construída em relação a figura anterior e teremos na quarta figura: 6 (seis) triângulos mais 4 (quatro) triângulos que são 10 (dez) triângulos.
Na quinta figura teremos então: 10 (dez) triângulos mais 5 (cinco) triângulos que são 15 (quinze) triângulos.
Cada triângulo é formado por 3 (três) palitos, logo teremos 15 (triângulos) x 3 (palitos) que é igual a 45 (quarenta e cinco) palitos.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Devemos observar a figura construída em relação a figura anterior e teremos na quarta figura: 6 (seis) triângulos mais 4 (quatro) triângulos que são 10 (dez) triângulos.
Na quinta figura teremos então: 10 (dez) triângulos mais 5 (cinco) triângulos que são 15 (quinze) triângulos.
Cada triângulo é formado por 3 (três) palitos, logo teremos 15 (triângulos) x 3 (palitos) que é igual a 45 (quarenta e cinco) palitos.
OBMEP/2014 - Primeira Fase - Nível II
Observação: poderíamos construir o tabuleiro 7 x 7 e localizarmos o termo central na quarta linha e na quarta coluna, sendo este o número 25.
Como explicitado no vídeo poderíamos substituir o termo central por x, trata-se de uma possibilidade algébrica, x -1 (antes) e 49 -x (após).
Podemos resolver a equação:
x - 1 = 49 - x
x + x = 49 + 1
2.x = 50
x = 50/2
x = 25
OBMEP/2014 - Primeira Fase - Nível I
Observação: a resolução da professora postada em vídeo mostra a atenção que devemos ter ao resolver uma determinada situação problema. Quando ela completa o retângulo maior, é possível ter clareza que temos traçada a diagonal do retângulo.
Podemos então calcular a área do retângulo maior, 8 x (8 + 6) = 8 x 14 = 112 centímetros quadrados.
Calcular a área do retângulo menor (que foi completado na figura), 6 x 2 = 12 centímetros quadrados.
Portanto a área da região cinza, será a área do retângulo maior dividido por dois menos a área do retângulo menor, 112/2 = 56 centímetros quadrados, 56 - 12 = 44 centímetros quadrados.
OBMEP 2015
8. Cinco dados foram lançados e a soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos pontos da face de cima com os pontos da face debaixo é sempre 7. Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces debaixo?
"Ao lançarmos os cinco dados, a soma de todos os pontos obtidos nas faces do topo com suas faces opostas é 7 x 5 = 35, devido às características do dado descritas no enunciado (faces opostas somam 7). Logo, a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo é 35 – 19 = 16."
Se a face superior dos respectivos dados estivessem marcando: 1; 3; 4; 5 e 6. A face paralela (inferior) corresponderia respectivamente aos pontos (números): 6; 4; 3; 2 e 1. A soma portanto será igual a 16.
A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20
OBMEP - Perímetro
10. Quais dos polígonos desenhados no quadriculado têm o mesmo perímetro?
É importante o trabalho com o papel quadriculado para que os alunos saibam observar os lados dos quadradinhos. Eles devem observar que alguns segmentos são diagonais, na figura I é possível observar 4 (quatro diagonais) nos 4 (quatro) quadradinhos das extremidades deste octógono. Sabemos que a medida da diagonal é maior que a medida do lado e é possível mostrar para aluno neste nível, utilizando uma régua. Na figura II é possível observar 4 (quatro) lados de quadradinho de um lado e 4 (quatro) lados de quadradinho de um outro lado, a diagonal passa por 4 (quatro) metades de quadradinho neste triângulo. Na figura III são 3 (três) lados de quadradinho nos 4 (quatro) lados do quadrado, portanto perímetro igual a 12 lados e na figura IV (triângulo) são 6 (seis) quadradinhos de um dos lados e nas 2 (duas) diagonais de mesma medida, onde cada segmento passa por 3 (três) metades de quadradinho.
"Os perímetros das figuras podem ser observados diretamente. A figura I possui perímetro formado por 8 lados do quadradinho básico que constitui o quadriculado, mais 4 diagonais destes mesmos quadradinhos. O mesmo ocorre com a figura II. A figura III tem perímetro igual a 12 lados do quadradinho básico do quadriculado e a figura IV tem perímetro igual a 6 lados do quadradinho básico acrescido de 6 diagonais desses quadradinhos. Deste modo, como a diagonal de um quadradinho mede mais do que o lado do mesmo quadradinho, somente as figuras I e II têm o mesmo perímetro."
Resposta: Alternativa E
A) IV e III B) IV e II C) IV e I D) III e II E) II e I
OBMEP/2015
7. Os pontos destacados nos quadrados abaixo são pontos médios dos lados. Quantos desses quadrados têm área sombreada igual a 1 4 de sua área?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Uma questão de área muito interessante que pode ser trabalhada utilizando o papel quadriculado, também podemos pedir para que os alunos observem que podemos traçar os segmentos e determinar quem é a unidade de medida e quantas vezes ela cabe no todo, quadrado.
Na primeira figura temos: 2/8, eu posso traçar um segmento na horizontal e mais dois segmentos (diagonal) dos quadrados das extremidades, portanto: 1/4; na segunda figura eu tenho novamente 2/8 = 1/4 (pensando em quadrados) ou 4/16 (pensando em triângulos) = 1/4; na terceira figura eu tenho, 2/8 = 1/4 (pensando em quadrados) ou 4/16 (pensando em triângulos) = 1/4 e na quarta figura, 2/8 = 1/4.
OBMEP/2015 - Nível II
Observação: em torno do 0 (zero) que está no interior do hexágono, temos inicialmente seis vezes o número 1, dezoito vezes o número 2 e vinte e quatro vezes o número 3.
Observando esta regularidade podemos expandir a ideia para: cinco vezes o número 5 e portanto seis vezes o número 6. Logo 36 casas receberam o número 6.
OBMEP/2015 - Nível III
Observação: quinze minutos mais doze minutos são iguais a vinte e sete minutos, necessários para assar o primeiro meio quilo de frango.
Para os outros dois quilos são necessários: 12 x 4 = 48 minutos (quatro quilos de frango).
48 + 27 = 75 minutos.
Devemos subtrair das 20h, os 75 minutos e portanto teremos: 18h:45 minutos.
OBMEP/2015
Observação:
Se colocarmos a Figura 2 na posição vertical no interior da Figura 1 como ela está representada, iremos ter duas figuras e se fizermos a reflexão da Figura 2 e deixarmos na mesma posição vertical teremos quatro figuras.
Se colocarmos a Figura 2 na posição horizontal no interior da Figura 1 com o quadradinho voltado para baixo, iremos ter duas figuras e se fizermos a reflexão da Figura 2 e deixarmos na mesma posição horizontal teremos apenas 1 figura, que corresponde ao item A.
É interessante fazermos as várias representações possíveis para encontrarmos a solução para esta situação problema proposta.
OBMEP/2014 - Primeira Fase - Nível I
OBMEP/2015 - Nível III
Observação: vamos traçar dois segmentos, o primeiro paralelo ao segmento AE e CD e o segundo paralelo ao segmento AC e ED. Ao traçarmos estes segmentos poderemos fazer algumas conjecturas.
Isso é possível porque os segmentos B e F são pontos médios dos lados AC e AE.
A área do triângulo ABF é correspondente a um oitavo (1/8) da área do retângulo ACDE. 640 : 8 = 80.
Pensando na figura abaixo, é possível deslocar os triângulos do segundo e terceiro triângulo e preencher a área do quarto retângulo e portanto teremos que essa área corresponde a 1/4 (um quarto) da figura. 640 : 4 = 160.
A área total é igual a 80 + 160 = 240 centímetros quadrados.
OBMEP/2015 - Nível III
Observações: cada linha termina em um número que corresponde a um quadrado perfeito. Quadrados perfeitos: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ...; 400; ...; 1936; 2025. Podemos concluir que na linha 45 estará o quadrado perfeito, 2025 e portanto o número 2015.
Observação:
20 x 5 = 100 pedaços foram comidos pelos 20 amigos.
A pizza tem 12 pedaços.
100 : 12 = 8 (quociente) e 4 (resto).
Portanto são necessárias 9 pizzas, sendo que na promoção uma será gratuita.
Conclusão: 8 x 30,00 = 240,00 reais.
OBMEP/2015
Observação:
20 x 5 = 100 pedaços foram comidos pelos 20 amigos.
A pizza tem 12 pedaços.
100 : 12 = 8 (quociente) e 4 (resto).
Portanto são necessárias 9 pizzas, sendo que na promoção uma será gratuita.
Conclusão: 8 x 30,00 = 240,00 reais.
OBMEP/2015 - Nível II
Observação: inicialmente podemos pensar na área de cada um dos dois quadrados, quadrado (I) - 6 x 6 = 36 centímetros quadrados e quadrado (II) - 6 x 6 = 36 centímetros quadrados. Área destes dois quadrados igual a 72 centímetros quadrados.
Temos dois triângulos, triângulo (I) 3 x 6 = 18/2 = 9 e triângulo (II) 3 x 6 = 18/2 = 9. Área destes dois triângulos igual a 18 centímetros quadrados.
Área total, 72 + 18 = 90 centímetros quadrados.
OBMEP/2015
Observação: ao retirar quatro bolas da caixa, pelo menos uma bola será vermelha, portanto essa é a única afirmação que podemos dizer que é verdadeira.
Observação:
Ana
P; I; I.
Menor e Maior Número
1 0 3.
9 8 7.
Beto
I; P; P.
Menor e Maior Número
1 0 2.
9 8 6.
Diferença: 987 (Ana) - 102 (Beto) = 885
Fonte: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2016.pdf
Um ótimo desafio para começar o dia!
OBMEP/2015 - Vamos raciocinar juntos!
Ana
P; I; I.
Menor e Maior Número
1 0 3.
9 8 7.
Beto
I; P; P.
Menor e Maior Número
1 0 2.
9 8 6.
Diferença: 987 (Ana) - 102 (Beto) = 885
Fonte: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2016.pdf
Um ótimo desafio para começar o dia!
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