Combinatória

Resolvendo Problemas de Combinatória - Primeira Parte  

https://drive.google.com/file/d/0B7Wlwk5MH1IHU3FMWVBSeFJ1UW8/view?usp=sharing

 

Resolvendo Problemas de Combinatória - Segunda Parte

https://drive.google.com/file/d/0B7Wlwk5MH1IHWXlCelFfcTE2VHc/view?usp=sharing

Resolvendo Problemas de Combinatória - Terceira Parte

 

https://drive.google.com/file/d/0B65xmAIB-Kr6QVJ0QVQ2bTNOVE0/view?usp=sharing

Resolvendo Problemas de Combinatória - Quarta Parte

 



https://drive.google.com/file/d/0B65xmAIB-Kr6NnF5Uk1UWkVKYW8/view?usp=sharing

Resolvendo Problemas de Combinatória - Quinta Parte

https://drive.google.com/file/d/0B65xmAIB-Kr6NUhMMzIwNmFhYWs/view?usp=sharing

Resolvendo Problemas de Combinatória - Sexta Parte

https://drive.google.com/file/d/0B65xmAIB-Kr6VDlKcXJNZXozeFk/view?usp=sharing

Resolvendo Problemas de Combinatória - Sétima Parte

https://drive.google.com/file/d/0B65xmAIB-Kr6NDhIT1hqVTNZSmc/view?usp=sharing

Princípio Multiplicativo e Aditivo

1º.) Estão em cartaz 3 (três) filmes e 2 (duas) peças de teatro e, supondo que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas um evento, quantas opções diferentes Carlos tem para seu divertimento?

2º.) Se no problema anterior, Carlos tiver dinheiro para assistir um filme e uma peça de teatro, quantas opções ele terá para seu divertimento, sendo irrelevante qual ele assiste primeiro?  

3º.) Numa confeitaria há 5 (cinco) sabores de picolés e 3 (três) sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um sorvete ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer?    

4º.) Suponha que Lúcia vá a confeitaria e possa tomar um picolé e comer um salgado. Quantos pedidos diferentes Lúcia pode fazer?

  

5º.) Quantos são os anagramas de duas letras diferentes que podemos formar com um alfabeto de 23 (vinte e três) letras?     

6º.) De quantas maneiras podemos selecionar 1 (uma) consoante e 1 (uma) vogal de um alfabeto formado por 18 (dezoito) e 5 (cinco) vogais?    

7º.) Quantos são os anagramas de duas letras formados por uma vogal e uma consoante escolhidas dentre 18 (dezoito) consoantes e 5 (cinco) vogais?

 

Conclusões:     

1º.) Princípio Aditivo.

2º.) Princípio Multiplicativo.    

3º.) Princípio Aditivo.    

4º.) Princípio Multiplicativo.

5º.) Princípio Multiplicativo.

6º.) Princípio Multiplicativo.

7º.) Princípio Multiplicativo.   

Possíveis soluções:   

1º.) FA; FB; FC; TA e TB.

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

Princípio Aditivo: 1 filme ou 1 peça.

2º.) FA TA; FA TB; FB TA; FB TB; FC TA e FC TB.  

Princípio Multiplicativo.      

3º.) 5 + 3 = 8.

Princípio Aditivo (ou).

4º.) 3.5 = 15.

Princípio Multiplicativo.   

5º.) 23.22 = 506.

Princípio Multiplicativo.

6º.) 18.5 = 90.

Princípio Multiplicativo.

7º.) 18.5.2 = 180.

Princípio Multiplicativo.

  

Resoluções dos 7 primeiros Problemas

1º.) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5¹⁰

2º.) ___ ___ ___ ___

4 . 3 . 3 . 3 = 108

3º.) ___ ___ ___    ___ ___ ___ ___

26 . 26 . 26    10 . 10  . 10  10 = 26³ .  10⁴

4º.) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

1º.) ___ ___ ___ ___ / ___ ___ ___

7. 6 . 5 . 4 / 4 . 3 . 2 = 35

2º.) ___ ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ ___ ; ___ ___ __ ; ___ ___ ___ .

MIMO ; MIOM; MOIM; MOMI; MMIO; MMOI; IMOM; IMMO; OMIM; OMMI; OIMM e IOMM.

3º.) Para 3 pessoas podemos dispor 2 rodas diferentes; para 4 pessoas podemos dispor 6 rodas diferentes; para 5 pessoas podemos dispor 24 rodas diferentes; observamos então que na permutação circular, teremos: (n –  1)ǃ  

Análise Combinatória

Situações de Aprendizagem      

1º.) Uma moça, ao se preparar para uma festa, resolveu escolher uma corrente, entre as duas que possui, e um brinco dentre os 4 que possui. De quantas maneiras distintas ela poderá fazer tal escolha?

2º.) Considere agora que a mesma moça tem também três pulseiras e resolveu escolher também uma pulseira para colocar. Quantas seriam as formas distintas de sair, para a tal festa, com uma corrente, um par de brincos e uma pulseira.

3º.) Considere ainda que, a mesma, moça, além da corrente, brincos e pulseiras , também desejasse escolher um dentre 8 anéis que possui e um dentre 3 relógios. Quantos seriam os casos possíveis agora?

4º.) Um jovem jogou 2 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter? (represente)

5º.) Um apostador lançou dois dados. Para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles? (Represente o espaço amostral)

6º.) Um jovem jogou 5 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter?       

7º.) Um apostador lançou três dados para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles?

8º.) Suponhamos que uma senhora precisa ir à reunião na escola onde seu filho estuda. Ela pretende ir de saia e blusa ou calça e blusa. Sabendo-se que ela tem: 5 blusas, 3 calças e 4 saias, de quantas maneiras distintas ela poderá se vestir para a reunião.          

9º.) Uma jovem possui 2 camisas brancas e uma azul, uma calça azul clara e duas escuras.            

a)   De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca.     

b)   De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de calça escura?    

c)   De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca e calça escura?

d)   De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca ou de calça escura?

10º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números com 3 dígitos (distintos ou não) podem ser formados.  

11º.)  Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 30 dígitos podem ser formados?   

12º.) Num computador, um bit é um dos dígitos, 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 24 bits?    

13º.)  Quantas placas de automóveis podemos obter considerando que elas têm 3 letras e 4 dígitos? (admita que podemos ter placa com todos os dígitos iguais a zero).     

14º.) Um professor deu a seus alunos uma folha de sulfite com um desenho parecido com nossa bandeira, isto é, um retângulo, com um losango desenhado no seu interior e um círculo no interior do losango. Pediu a seus alunos que pintassem o círculo de uma cor, a região do losango, externa ao círculo, de outra cor e a região do retângulo, externa ao losango, de cor diferente das já utilizadas. De quantas formas distintas a tarefa poderá ser realizada se, o professor estipulou que só poderiam ser usadas nas cores: azul, vermelho, verde, amarelo, marrom, cinza, rosa ou preto.  

15º.) Num concurso de Rainha do Carnaval ficaram 5 finalistas: Ana, Eda, Ida, Eva e Elis. Os juízes devem classificar a 1º., 2º. e 3º. colocadas. De quantas maneiras distintas poderão fazê-lo?

16º.) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?       

17º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?    

18º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?    

19º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?    

20º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos são os números com algarismos distintos existentes entre 600 e 1000?    

21º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?   

22º.) Com os algarismos: 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 5 dígitos distintos podemos formar?   

23º.) Quantos anagramas da palavra CONTAGEM podemos formar?    

24º.) Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO podemos formar?    

25º.) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ELE?     

26º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra AMADA?    

27º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra DANADA?       

28º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra COMBINATÓRIA?

29º.) Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos: 2, 2, 3, 3, 3 e 5?

30º.) Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. Quantos são os modos possíveis de colocar 2 caras e 4 coroas para cima?

31º.) Se uma pessoa gasta exatamente 5 segundos para escrever cada anagrama da palavra PAPAGAIO, quanto tempo levará para escrever todos os possíveis anagramas, se não parar para descansar?     

32º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra: ESTATÍSTICA?

33º.) De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? (fazer a experiência na sala de aula)

34º.) Considere agora que temos 4 pessoas para sentar ao redor de uma mesa.

35º.) O mesmo para 5 pessoas.

36º.)  De quantas maneiras distintas, 14 crianças podem brincar de roda?     

37º.) Quantas pulseiras distintas podemos montar com 15 contas de cores distintas?     

38º.) 2 meninos e 2 meninas vão brincar de roda. Quantas rodas “distintas” podem ser formadas, se os meninos devem estar intercalados às meninas?   

39º.) O mesmo para 3 meninos e 3 meninas.      

40º.) O mesmo para n meninos e n meninas, nЄN^*.

41º.)  Numa sala com 30 alunos queremos selecionar 4 para representá-los num determinado evento. De quantas maneiras distintas poderemos fazê-lo?     

42º.) Uma prova consta de 12 questões das quais ele precisa escolher 10 para resolver. De quantas maneiras poderá fazê-lo?    

43º.) Numa classe temos 15 meninas e 10 meninos. Quantas comissões de 5 estudantes podem ser formadas de modo que cada comissão “tenha no mínimo 3 meninas”?   

44º.)  No caso anterior, se quiséssemos que as comissões tivessem “pelo menos “ uma menina”?

45º.) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos poderá ele associar 6 delas, se entre as 10, duas somente não podem ser juntadas por produzirem mistura explosiva?    

46º.) Numa festa, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 435 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na festa?            

1º.) Princípio Multiplicativo.

___ . ____ = ____.

2 . 4 = 8  ou 4 . 2 = 8.

2º.) Princípio Multiplicativo.

___ . ___ . ___ =  ____.

2 . 4 . 3 = 24.

3º.) Princípio Multiplicativo.

___ . ___ . ___ . ___ = ____ .

2 . 4  . 3 . 8 . 3  =  576.

4º.) Determinar o espaço amostral: Ω = {(C,C); (C, K); (K, C); (K, K)}.

Penso que seja interessante construir com os alunos as ramificações de uma árvore. Didaticamente deixa evidente uma regularidade: 2¹  e  2² .

5º.) Determinar o espaço amostral: Ω = {(1, 1); ...(6, 6)}.

Penso que seja interessante construir com os alunos as ramificações de uma árvore, fazendo a correspondência entre os números das faces do primeiro dado com o do segundo, um a um.

___ . ___ = ___.

6 . 6 = 36.

6º.) Analogamente ao problema 4 devemos continuar construindo as ramificações de uma árvore e também determinar o espaço amostral.

R: 2⁵ = 32.

7º.) Analogamente ao problema 5 devemos aplicar o princípio multiplicativo.

___ . ___ . ___ = ___ .

6 . 6 . 6 = 216.

  8º.) Saia e Blusa: 4 . 5 = 20

Calça e Blusa: 3 . 5 = 15

R: 20 + 15 = 35 maneiras. (ou)

9º.)

a)      R: 6. Camisa Branca 1 e 2, combinadas com as calças 1, 2 e 3.

b)      R: 6. É interessante fazer as ramificações de uma árvore.

c)       R: 4.

d)      R: 12 – 4 = 8.

10º.) ____ . ____ . ____ = _____.

5 . 5 . 5 = 125

11º.) ___ ___ ___ ___ ... ___.

9.  9 . 9 . 9 . ... 9 = 9³⁰ .

12º.) ___ ___ ___ ___ ... ___ .

2 . 2 . 2 . 2 ... 2 = 2²⁴ .

13º.) ___ ___ ___    ___ ___ ___ ___ .

26 . 26 . 26   10 . 10 . 10 . 10  = 26³.10⁴ .

14º.) ____  ____ ____ .

8 . 7 . 6 = 336.

15º.) ___ . ___ . ___ .

5 . 4 . 3 = 60.

16º.) ____ . ____ . ____ .

26 . 25 . 24 = 15600.

17º.) ___ ___ ___ ___.

___ ___ ___ ___.

___ ___ ___ ___.

___ ___ ___ ___.

___ ___ ___ ___.

R: 8871; 8873; 8875; 8877 e 8879. Portanto temos: 8 . 8 . 7 = 448 . 5 = 2240.

18º.) ___ . ___ . ___ .

R: 9 . 8 . 7 = 504.

19º.) ___ ___ ___ ___.

___ ___ ___ ___.

R:  5 . 4 . 3 . 4 (fixo) e 5 . 4 . 3 . 6 (fixo).

5 . 4 . 3 = 60 . 2 = 120. 

20º.)  ___ ___ ___.

___ ___ ___.

___ ___ ___.

R: Fixo o 6, 7, 8 e 9 respectivamente.

8 . 7 . 4 = 224.

21º.) A_5,5 + A_5,4  + A_5,3  + A_5,2  + A_5,1.

R: 325.

22º.) ___ ___ ___ ___ ___.

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.

5ǃ

23º.) C O N T A G E M.

8ǃ = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1  = 40320.

24º.) P E R N A M B U C O.

10ǃ = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800.

25º.) E L E.

ELE; EEL; LEE; LEE; ELE  e EEL. Somente ELE, EEL e LEE são distintos.

R: 3ǃ / 2ǃ  =  3.

26º.)  A M A D A.

R: 5ǃ / 3ǃ  = 20.

27º.) D A N A D A.

R: 6ǃ / 3ǃ   2ǃ .

28º.) C O M B I N A T Ó R I A .

R: 12ǃ / 2ǃ 2ǃ 2ǃ .

29º.) ___ ___ ___ ___ ___ ___ .

R: 6ǃ / 2ǃ 3ǃ .

30º.) CCKKKK

R:  6ǃ / 2ǃ 4ǃ .

31º.) P A P A G A I O .

R: 8ǃ / 3ǃ 2ǃ .

R: 3360 . 5 (segundos).

32º.) E S T A T Í S T I C A .    

R: 11ǃ / 2ǃ 3ǃ 2ǃ 2ǃ .

R: 831600 .       

33º.) É viável fazer a experiência com 3 pessoas.

R: (n – 1 )ǃ .

R: 2 .

34º.) Idem para 4 pessoas.   

R: (n – 1 )ǃ .

R: 6 . 

35º.) R: 24.

36º.) R: 13ǃ .

37º.) R: 14ǃ . 

38º.) R: 2 .

39º. ) R: 3ǃ 3ǃ / 3 = 12

40º.) (n – 1)ǃ

41º.) R: C_30,4 = 27405.

42º.) R: C_12,10  =   66.

43º.) “tenha no mínimo 3 (três) meninas”.

R: C_15,3.C_10,2.  = 20475.

C_15,4.C_10,1  =    13650.

C_15,5 = 3003.

R: 20475 + 13650 + 3003 = 37128.

44º.) “pelo menos uma menina”.

Entendo que pode ser uma, duas, três, quatro e cinco meninas.   

R: C_15,2.C_15,3  = 12600.

C_15,1.C_15,4  = 3150.

R: 37128 + 12600 + 3150 = 52878.

45º.) R: C_10,6.C_8,2 = 140.

46º.) R: C_n,2 = 435

R: {30}.