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segunda-feira, 7 de março de 2011

Aritmética e Álgebra


Situações de Aprendizagem 1
Aritmética com Álgebra: as letras como números

7º. Série do 2º. Bimestre


Casos:

1º.)

Posição
Qtde de Bolinhas na 1º. Linha
Qtde de Bolinhas na 2º. Linha
1º.
1

2º.
2
1
3º.
3
2
4º.
4
3
5º.
5
4
n qualquer
n
n – 1




Ao Professor: Podemos juntos observar que se chamarmos a 1º. Linha de n a 2º. Linha poderá ser chamada de n – 1.

  • Para n = 1, n - 1 = 1 – 1 = 0;
  • Para n = 2, n  - 1 = 2 – 1 = 1;
  • Para n = 3, n – 1 = 3 – 1  = 2;
  • Para n em uma posição qualquer podemos pensar na generalização: n + ( n – 1 ).

  
4º.)

Posição
Qtde de Bolinhas na 1º. Linha
Qtde de Bolinhas na 2º. Linha
Qtde de Bolinhas na 3º. Linha
Qtde de Bolinhas em cada Posição
1º.
3


3
2º.
3
4

7
3º.
3
4
4
11
n qualquer
n – 1


Aumenta-se 4



Ao Professor: Podemos observar que a quantidade de bolinhas na 1º. Linha é sempre n -1 em relação as linhas subseqüentes. E pensar que há sempre um número padrão de bolinhas nas linhas abaixo, sendo este 4.

·         Portanto: 4.n -1 ou 3.n + ( n – 1) são generalizações possíveis.

6º.)


Posição
Qtde de bolinhas na 1º. Linha
Qtde de bolinhas na 2º. Linha
Qtde de bolinhas na 3º. Linha
Qtde total de bolinhas em cada Posição
1º.
3


3
2º.
4
4

8
3º.
5
5
5
15
n qualquer
n+2*


**



Ao Professor: Observar que se considerarmos n como a posição, a quantidade de bolinhas na 1º. Linha será n + 2*.
A quarta coluna ** apresenta a sequência de números: 3, 8, 15, 24, ... , logo percebemos um aumento entre linhas de: 5, 7, 9, ..., dois em dois.
Podemos considerar n . ( n + 2 ).

1º.) Lição de Casa – Página 6

Posição
Quantidade Total de Quadradinhos
1º.
4
2º.
8
3º.
12
4º.
16
n qualquer
Quádruplo de n

 

Ao Professor: Observar que a quantidade total de bolinhas e o quádruplo do número ordinal, posição. 
Logo: 4.n


1º.) Desafio – Página 7 – Números Quadrados – História: Os Matemáticos Gregos, aproximadamente 600 a .C., representavam números com arranjos de pontos em formas geométricas.   

Posição
Qtde de o na Linha
Qtde de o na Coluna
Total de o em cada figura
1º.
2
2
4
2º.
3
3
9
3º.
4
4
16

n
n
n2



Ao Professor: Se pensarmos nestes como números quadrados teremos o produto das bolinhas das linhas pelo produto das bolinhas das colunas.  

2º.) Desafio – Página 7 – Números Triangulares

Posição
Quantidade Total de Bolinhas
1º.
1
2º.
3
3º.
6
4º.
10
n qualquer
n.(n+1)/2


Ao Professor: Podemos observar que a quantidade de bolinhas aumenta de linha para linha, sempre n + 1. E observamos em relação a posição n.(n+1), teremos sempre o dobro do número de bolinhas em relação a posição e devemos dividir por 2.


1o.) Você Aprendeu? – Página 8 – item a)


Posição
Qtde Total de Bolinhas
1º.
4
2º.
7
3º.
10
4º.
13
n qualquer
2.n + (n+1) ou 3.n + 1



Ao Professor: Podemos observar que sempre a primeira linha se repete, ou seja, ela dobra. Também podemos observar que após dobrar aumenta-se de 1 em 1 bolinha entre as linhas iguais, temos n + 1 da 1º. Posição para 2º. Dentro deste intervalo, e assim sucessivamente.





Item b) – página 8


Posição
Qtde Total de Bolinhas 
1º.
4
2º.
6
3º.
8
4º.
10
n qualquer
2.n+2

 

Ao Professor: Podemos observar que se a 1º. Linha apresenta uma bolinha e a chamarmos de n, a 2º. Linha será n + 1, pois terá 1 + 1 bolinha = 2 bolinhas. A terceira linha repete a 1º. Linha então será igual a n.  
Podemos também concluir diretamente que dobra-se o n (posição) e somam-se 2 bolinhas.

Item c) – página 9

Posição
Qtde Total de Bolinhas
1º.
10
2º.
14
3º.
18
4º.
22
n qualquer
4.n +6



Ao Professor: Podemos observar que o quádruplo de n + 6 corresponde ao total de bolinhas. Observar que as quantidades totais aumentam de 4 em 4.  




PCOP de Matemática do E.F. Ciclo II – Lúcio Mauro Carnaúba


Bibliografia:

Artigo – “A aritmética e a Álgebra na Matemática Escolar”
Revista da SBEM – número 11;

Livro: “As idéias da álgebra”
Organizadores: “Arthur Coxford” e “A.Shulte”
Editora Atual  

Álgebra: das variáveis às equações e funções.
Eliane Reame de Souza e Maria Ignez S. V. Diniz, 1994.  

     
Observação Textual: Para “Souza e Diniz” (1996) “o fator fortemente diferencial entre a álgebra e a aritmética são os seus objetivos. Enquanto a aritmética trata de números, operações e suas propriedades visando à resolução de problemas ou de situações que exigem uma resposta numérica, a álgebra busca expressar o que é genérico, aquilo que se pode afirmar para vários valores numéricos independente de quais sejam eles exatamente”.   

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