E.E. "Professor Benedicto Josué Mendes" P.E.I. : Número de Euler

segunda-feira, 15 de abril de 2013

Número de Euler

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Nota: Se procura constante de Euler, veja constante de Euler.

Parte de uma série de artigos sobre
a constante matemática e

Logaritmo natural · Função exponencial

Aplicações em: interesse composto · identidade de Euler & fórmula de Euler · meia-vida & crescimento/decaimento exponencial

Definindo e: demonstração da irracionalidade de e · representações de e · teorema de Lindemann–Weierstrass

Pessoas John Napier · Leonhard Euler

conjectura de Schanuel

Retrato de Leonhard Euler (autoria de Johann Georg Brucker).

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

$k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)$

para $\text{[math]}$ , ou seja:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

ou ainda, substituindo-se n por $\frac{1}{h}$

$e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}$

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Índice

[esconder]

[editar] Caracterizações menos triviais de $e$

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

O número $e$ pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para $e^{x}$ quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função $e^{x}$ (função exponencial de base $e$ ) pode ser representada da seguinte forma:

$(\forall x\in\mathbb{R})$ , $exp(x)=e^x$

assim, por exemplo, tem-se :

$\exp(3)=e\times e \times e=e^3$ ou ainda

$\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}$

Outra maneira de se encontrar o valor de $e$ é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

$\text{[math]}$

Ou, de forma mais simplificada (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS):

$e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,$

que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:

$e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,$

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam $e$ já foram desenvolvidas.

[editar] O Número $e$ no Cálculo

A função exponencial $\text{[math]}$ tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$

Isto significa que $e$ tem a notável propriedade de que a taxa de variação de $e^{x}$ no ponto x = t vale $e^{t}$ . Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções $\text{[math]}$ , $(\forall k\in\mathbb{R})$ também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir $e$ como sendo o único número maior que zero tal que:

$\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}$

[editar] Mais Sobre $e$

O número $e$ é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de $e$ foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de $e$ foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que $e$ é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

$e^{i\pi}+1=0 \,$

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

$e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!$

que, por sua vez, advém da série de Taylor para $f(ix)=e^{ix}$ .

Leonhard Euler começou a usar a letra $e$ para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de $e$ foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque $e$ é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre $zero$ e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a $e$ .

[editar] $e$ como séries infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em $e$ , têm-se, além da trivial:

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}$

[editar] $e$ como limites e produtos infinitos

Os produtos infinitos

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

$e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,$