Números Perfeitos: um número é perfeito se o seu ciclo é de comprimento 1, ou seja, é aquele cuja a soma dos seus divisores próprios é igual a si mesmo.
d (28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Euclides, no livro IX dos Elementos, demonstrou que qualquer número na forma 2n+1 (2n-1) é perfeito se 2n-1 for primo. Por exemplo, para n=5 temos:
25-1 (25-1) = 24 (32-1) = 16.31 = 496
d (496) = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
É interessante lembrar que os números primos da forma 2n-1 são chamados primos de Mersenne. Como todo número perfeito par é do tipo 2n+1 (2n-1), a recíproca do resultado demonstrado por Euclides, que foi demonstrado por Leohard Euler, podemos então dizer que existem pelo menos tantos números perfeitos pares quantos forem os primos de Mersenne.
Números Amigos: são os que têm ciclo de comprimento 2, como foi visto para o par (280,284), que é o menor par de números amigos conhecidos.
d (220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
d (284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Euler publicou um estudo sobre esses números em 1750, apresentando uma lista de 60 pares de números amigos.
Em 1866 foi descoberto o segundo maior par, por um rapaz chamado Paganini (Brina Bolt).
Números Sociáveis: os números com ciclos maiores que 2 recebem o nome de sociáveis.
Fonte: RPM número 41
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