“No primeiro ciclo o trabalho do professor centra-se na análise das hipóteses levantadas pelos alunos e na exploração das estratégias pessoais que desenvolvem para resolver situações-problema, neste ciclo ele pode dar alguns passos no sentido de levar seus alunos a compreenderem enunciados, terminologias e técnicas convencionais sem, no entanto, deixar de valorizar e estimular suas hipóteses e estratégias pessoais”.
(Parâmetros Curriculares Nacionais)
Situações Problema
Ao Professor: relação parte/todo, supõe que o aluno seja capaz de identificar a unidade que representa o todo (grandeza contínua ou discreta), compreenda a inclusão de classes, saiba realizar divisões operando com grandezas discretas ou contínuas.
Variável Contínua, uma barra de chocolate na forma de um prisma reto e variável discreta, a quantidade de alunos em uma sala de aula.
1º.) Propor a divisão de uma folha de papel ofício A-4 em duas, três, quatro e seis partes iguais ou mesmo propor a divisão de um retângulo esboçado pelo aluno no caderno. Fazer a representação na escrita fracionária.
Ao Professor: observar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver esta situação problema, principalmente no caso de números não divisíveis por: 2, 3, 4 e 6.
2º.) Contar a quantidade de alunos em sala de aula e propor a divisão da sala em duas, três, quatro e seis partes iguais.
Ao Professor: neste caso o número racional será utilizado como um índice comparativo entre duas quantidades, ou seja, uma razão. A importância da interpretação.
3º.) Numa cidade chamada “Pêra”, dois em cada três habitantes são jovens. Se a cidade possui 13620 habitantes. Quantos são estes jovens?
Ao Professor: situações associadas à idéia de combinatória. Os alunos podem obter a resposta, num primeiro momento, fazendo desenhos, diagrama de árvore, até esgotar as possibilidades.
4º.) Bela tem duas calças, uma preta (P) e uma branca (B), e três blusas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C), de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?
Ao Professor: situações associadas ao que se poderia denominar multiplicação comparativa. Observar que a partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem divisões.
5º.) Magali tem R$ 50,00 e Mônica tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Mônica?
6º.) Mônica tem R$ 100,00, sabendo que ela tem o dobro da quantia de Magali, quanto tem Magali?
Ao Professor: situações associadas à comparação entre razões, que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade.
7º.) Numa feira livre próximo a casa de João, dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis?
Observar: o aluno deve perceber que comprará o dobro de abacaxis e deverá pagar, se não houver desconto, o dobro, R$ 5,00, não sendo necessário achar o preço de um abacaxi para depois calcular o de 4.
Ao Professor: situações associadas à configuração retangular.
8º.) Numa sala de aula, as cadeiras estão dispostas em 5 fileiras e 9 colunas. Quantas cadeiras há na sala de aula?
Observar: neste situação problema, percebe-se a importância do conceito de área e a associação entre a multiplicação e a divisão por meio de outras situações tais como:
9º.) As 45 cadeiras de uma sala de aula estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 5 as fileiras, quantas são as colunas?
10º.) A área de uma figura retangular é de 45 cm2 . Se um dos lados mede 9 cm, quanto mede o outro lado?
Ao Professor: idéias de transformação simples negativa, composição com uma das partes desconhecidas, transformação composta positiva e negativa e comparação.
11º.) Augusto tinha R$ 15,00 guardado em sua casa. Ajudando seu pai no trabalho ganhou mais algum dinheiro e agora tem R$ 43,00. Quantos reais Augusto tem a mais?
12º.) Em uma piscina de bolinhas há 396 bolinhas, sendo das cores vermelha e amarela. Se 177 são vermelhas, quantas são as bolinhas amarelas?
13º.) Marcos começou um jogo com 99 bolinhas de gude. Na primeira partida ganhou 27 e ao terminar a segunda partida estava com 57 bolinhas. O que aconteceu na segunda partida?
14º.) Paulo tem algumas balas e Mariana tem 36 balas a mais que ele. Sabendo que Paulo tem 55 balas, quantas balas tem Mariana?
Acompanhamento da Sala/Professor
1º.) O aluno identifica fração como parte de um todo: sim ( ) ou não ( );
2º.) O aluno compreende o conceito de divisibilidade por: 2( ); 3 ( ); 4 ( ) e 6 ( ).;
3º.) O aluno consegue interpretar o problema: sim ( ) ou não ( );
4º.) O aluno conhece estratégias de resolução deste tipo de situação problema: sim ( ) ou não ( );
5º.) O aluno compreende problemas de multiplicação comparativa: sim ( ) ou não ( );
6º.) O aluno compreende problemas que envolvem a idéia de divisão como idéia inversa ao problema de multiplicação comparativa: sim ( ) ou não ( );
7º.) O aluno sabe comparar razões: sim ( ) ou não ( );
8º.) O aluno compreender a multiplicação como produto: sim ( ) ou não ( );
9º.) O aluno compreende o todo como resultado de um produto: sim ( ) ou não ( );
10º.) O aluno compreende a noção de área como produto de duas medidas lineares: sim ( ) ou não ( );
11º.) O aluno compreende este problema como uma idéia de subtração: sim ( ) ou não ( );
12º.) O aluno compreende este problema como uma idéia de subtração: sim ( ) ou não ( );
13º.) O aluno consegue interpretar este problema: sim ( ) ou não ( );
14º.) O aluno consegue observar uma informação importante a resolução de um problema: sim ( ) ou não ( ).
Observações:
1º.) O professor pode trabalhar com outros polígonos e assim explorar a divisão em partes iguais.
2º.) O professor pode observar a estratégia utilizada pelo aluno para resolver uma situação problema, que apresente a necessidade de rever conceitos de divisibilidade.
3º.) O professor pode explorar problemas que envolvam informações de nosso cotidiano, como comparações entre dados estatísticos.
4º.) O professor pode trabalhar com diferentes tipos de resoluções de problema de combinatória para que o aluno observe que trata-se de uma multiplicação.
5º.) O professor pode trabalhar problemas que envolvam multiplicação e a operação inversa, divisão, em problemas de multiplicação comparativa.
6º.) O professor pode trabalhar problemas que envolvam multiplicação e a operação inversa, divisão, em problemas de multiplicação comparativa.
7º.) O professor deve trabalhar situações que comparem razões, idéias de proporcionalidade.
8º.) O professor pode trabalhar com os alunos através do uso do papel quadriculado, situações associadas à configuração retangular.
9º.) O professor pode trabalhar com os alunos através do uso do papel quadriculado, situações associadas à configuração retangular.
10º.) O professor pode trabalhar com os alunos através do uso do papel quadriculado, situações associadas à configuração retangular.
11º.) O professor pode trabalhar com problemas que envolvam a idéia de adição.
12º.) O professor pode trabalhar com problemas que envolvam a idéia de adição.
13º.) O professor pode trabalhar com problemas que envolvam a idéia de adição.
14º.) O professor pode trabalhar com problemas que envolvam a idéia de adição.
Páginas
- Página inicial
- SPEC
- Forms - - - Ensino Remoto
- Guia de Aprendizagem Humanas
- Guia de Aprendizagem CN e Matemática
- ATPCG 2023
- Matemática FÁCIL
- Eletivas/2023
- Padlet Diretoria 2024
- Jornal JOCA/2023
- Replicabilidade/2023
- Metodologia Ativa - Wordwall
- Habilidades Essenciais de Matemática - AAP
- Datas Comemorativas/2023
- Arquivos em PADLET
- Setembro Amarelo/2022
- JOCA/2022
- ERER/2022/2023
- M.M.R./Evidências
- Nivelamento
- Guia de Aprendizagem Linguagens
- Horário/2022/2023/2024
- Aprender Juntos
- Março/Plano Mensal
- Dia Internacional da Mulher
- Emancipação de OSASCO
- Eletivas 2022
- Clubes Juvenis
- Práticas Experimentais
- Planos de Recuperação/2022
- Pautas Formativas
- Socioemocionais
- Tutoria
- ATPC/2022
- Orientação de Estudos
- Ensino Integral
- PCA
- Planos de Aula - - - 4º Bimestre
- PA - 3º. Bimestre
- Geografia
- Mentalidades Matemáticas
- História/Sociologia
- Professor
- Professora LP
- Professor de História
- Professora/Atividades
- CMSP/Professores
- CMSP/Alunos
- ERER/2022/2023
- Prova de Promoção/Mérito 2025
Encontre aqui
segunda-feira, 28 de fevereiro de 2011
Probabilidade/2
IX – Probabilidade de um Evento num Espaço Equiprovável
Exemplos:
6º.) De um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem de copas?
Temos:
Cada par de cartas possíveis de serem extraídas , pode ser considerado como uma combinação das 52 cartas tomadas duas a duas. Isto é,
Ω = C52,2 = 52.51/2 = 1326
n (A) = 78
C13, 2 = 13.12/2
Logo, P (A) = 78/1326 = 39/663 = 1/17.
Poderíamos ter resolvido o problema, considerando Ω como ser formado por arranjos, ao invés de combinações, isto é,
Ω = A52,51 = 52.51 = 2652.
e o evento A seria formado pelos arranjos de duas cartas de copas, isto é:
A = A13,2 = 13.12 = 156.
n (A) = 156.
P (A) = 156/2652 = 1/17.
Atividades:
12º.) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?
ocorre dama de copas.
Ocorre dama.
Ocorre carta de naipe “paus”.
Ocorre dama ou rei ou valete.
Ocorre uma carta que não é rei.
13º.) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do número escolhido:
Ser par?
Ser ímpar?
Ser Primo?
Quadrado Perfeito?
14º.) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Ele estude Economia e Engenharia?
Ele estude somente Engenharia?
Ele estude somente Economia?
Ele não estude Engenharia, nem Economia?
Ele estude Engenharia ou Economia?
X – Probabilidade Condicional
Seja Ω um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A/B) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A/B) tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de A.
Exemplos:
7º.) Consideremos o lançamento de um dado e observação da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorre um número ímpar
B: ocorre um número maior ou igual a 2.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
P(A/B) será então a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço amostral reduzido.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
Atribuindo 1/5 para a probabilidade de cada evento elementar de B, o evento ocorrer número ímpar no espaço amostral “reduzido” será {3, 5} e portanto.
P(A/B) =1/5 + 1/5 = 2/5
8º.) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela.
Solteiro Casado Desquitado Viúvo
Masculino (M) 50 60 40 30 180
Feminino (F) 150 40 10 20 220
200 100 50 50
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Sejam os eventos:
S: a pessoa é solteira,
M: a pessoa é do sexo masculino.
P(S/M) significa a probabilidade da pessoa ser solteira, no novo espaço amostral reduzido, das 180 pessoas do sexo masculino. Ora, como existem 50 solteiros nesse novo espaço amostral:
P(S/M) = 50/180 = 5/18.
Sejam ainda os eventos:
F: a pessoa escolhida é do sexo feminino.
D: a pessoa escolhida é desquitada, então P(F/D) significa a probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino, no novo espaço amostral reduzido das 50 pessoas desquitadas. Ora, como existem 10 pessoas do sexo feminino nesse novo espaço amostral, P(F/D) = 10/50 = 1/5.
Notemos que P(F/D) ≠ P(D/F) pois um cálculo simples nos mostra que P(D/F) = 10/220 = 1/22.
Atividades:
15º.) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:
Olhos
azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Cabelos
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
loira?
morena de olhos azuis?
Morena ou ter olhos azuis?
Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?
XI – Teorema da Multiplicação
Uma consequência importante da definição formal de probabilidade condicional é a seguinte:
P(A/B) = P(A∩B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∩B) = P(B).P(A/B)
P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
P(A∩B) = P(A).P(B/A)
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos (P(A∩B)) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
Exemplos:
9º.) Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
Os dados do problema podem ser colocados num diagrama de árvore. Como cada urna é selecionada ao acaso, a probabilidade é ½ para cada urna I e II (escrevemos ½ em cada ramo que parte do ponto inicial para uma urna obtida).
Dada a urna escolhida, escrevemos as probabilidades condicionais de extrairmos da mesma uma bola de determinada cor. Tais probabilidades são colocadas nos ramos que partem de cada urna para cada resultado do 2º. Experimento (extração da bola).
Sejam: U1, o evento escolher urna I e V, o evento escolher bola vermelha.
Estamos interessados no evento U1 ∩ V. Logo, pelo teorema da multiplicação:
P (U1 ∩ V) = P(U1).P(V/U1)
Ora, P(U1) = ½, P(V/ U1) = 2/5.
Logo, P(U1 ∩ V) = ½.2/5 = 1/5.
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de , U1 e V é o produto das probabilidades que aparecem nos ramos da árvore onde estão situados I e V.
½.2/5
Analogamente, indicando por U2 o evento urna II e por B o evento bola branca, teremos:
P(U1 ∩ B) = ½.3/5 = 3/10.
P(U2 ∩V) = ½.4/9 = 2/9.
P(U2 ∩ B) = ½.5/9 = 5/18.
Atividades:
16º.) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso.
luciocarnaúba@ibest.com.br
Exemplos:
6º.) De um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem de copas?
Temos:
Cada par de cartas possíveis de serem extraídas , pode ser considerado como uma combinação das 52 cartas tomadas duas a duas. Isto é,
Ω = C52,2 = 52.51/2 = 1326
n (A) = 78
C13, 2 = 13.12/2
Logo, P (A) = 78/1326 = 39/663 = 1/17.
Poderíamos ter resolvido o problema, considerando Ω como ser formado por arranjos, ao invés de combinações, isto é,
Ω = A52,51 = 52.51 = 2652.
e o evento A seria formado pelos arranjos de duas cartas de copas, isto é:
A = A13,2 = 13.12 = 156.
n (A) = 156.
P (A) = 156/2652 = 1/17.
Atividades:
12º.) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?
ocorre dama de copas.
Ocorre dama.
Ocorre carta de naipe “paus”.
Ocorre dama ou rei ou valete.
Ocorre uma carta que não é rei.
13º.) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do número escolhido:
Ser par?
Ser ímpar?
Ser Primo?
Quadrado Perfeito?
14º.) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Ele estude Economia e Engenharia?
Ele estude somente Engenharia?
Ele estude somente Economia?
Ele não estude Engenharia, nem Economia?
Ele estude Engenharia ou Economia?
X – Probabilidade Condicional
Seja Ω um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A/B) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A/B) tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de A.
Exemplos:
7º.) Consideremos o lançamento de um dado e observação da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorre um número ímpar
B: ocorre um número maior ou igual a 2.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
P(A/B) será então a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço amostral reduzido.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
Atribuindo 1/5 para a probabilidade de cada evento elementar de B, o evento ocorrer número ímpar no espaço amostral “reduzido” será {3, 5} e portanto.
P(A/B) =1/5 + 1/5 = 2/5
8º.) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela.
Solteiro Casado Desquitado Viúvo
Masculino (M) 50 60 40 30 180
Feminino (F) 150 40 10 20 220
200 100 50 50
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Sejam os eventos:
S: a pessoa é solteira,
M: a pessoa é do sexo masculino.
P(S/M) significa a probabilidade da pessoa ser solteira, no novo espaço amostral reduzido, das 180 pessoas do sexo masculino. Ora, como existem 50 solteiros nesse novo espaço amostral:
P(S/M) = 50/180 = 5/18.
Sejam ainda os eventos:
F: a pessoa escolhida é do sexo feminino.
D: a pessoa escolhida é desquitada, então P(F/D) significa a probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino, no novo espaço amostral reduzido das 50 pessoas desquitadas. Ora, como existem 10 pessoas do sexo feminino nesse novo espaço amostral, P(F/D) = 10/50 = 1/5.
Notemos que P(F/D) ≠ P(D/F) pois um cálculo simples nos mostra que P(D/F) = 10/220 = 1/22.
Atividades:
15º.) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:
Olhos
azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Cabelos
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
loira?
morena de olhos azuis?
Morena ou ter olhos azuis?
Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?
XI – Teorema da Multiplicação
Uma consequência importante da definição formal de probabilidade condicional é a seguinte:
P(A/B) = P(A∩B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∩B) = P(B).P(A/B)
P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
P(A∩B) = P(A).P(B/A)
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos (P(A∩B)) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
Exemplos:
9º.) Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
Os dados do problema podem ser colocados num diagrama de árvore. Como cada urna é selecionada ao acaso, a probabilidade é ½ para cada urna I e II (escrevemos ½ em cada ramo que parte do ponto inicial para uma urna obtida).
Dada a urna escolhida, escrevemos as probabilidades condicionais de extrairmos da mesma uma bola de determinada cor. Tais probabilidades são colocadas nos ramos que partem de cada urna para cada resultado do 2º. Experimento (extração da bola).
Sejam: U1, o evento escolher urna I e V, o evento escolher bola vermelha.
Estamos interessados no evento U1 ∩ V. Logo, pelo teorema da multiplicação:
P (U1 ∩ V) = P(U1).P(V/U1)
Ora, P(U1) = ½, P(V/ U1) = 2/5.
Logo, P(U1 ∩ V) = ½.2/5 = 1/5.
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de , U1 e V é o produto das probabilidades que aparecem nos ramos da árvore onde estão situados I e V.
½.2/5
Analogamente, indicando por U2 o evento urna II e por B o evento bola branca, teremos:
P(U1 ∩ B) = ½.3/5 = 3/10.
P(U2 ∩V) = ½.4/9 = 2/9.
P(U2 ∩ B) = ½.5/9 = 5/18.
Atividades:
16º.) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso.
luciocarnaúba@ibest.com.br
Probabilidade
PROBABILIDADE ( 1º. Parte)
I-EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer em um experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
Exemplos de Experimentos Aleatórios:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.
II - Espaço Amostral
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Ω= {K,C} onde K representa cara e C,coroa.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.
Ω= {1,2,3,4,5,6}.
Atividades:
Dar um espaço amostral para cada experimento abaixo.
1º.) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
2º.) Uma letra contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é extraída e observada sua cor.
III – EVENTO
Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω. Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Exemplos:
1º.) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eis alguns eventos
A: ocorrência de um número ímpar. A = {1, 3, 5}.
B: ocorrência de número primo. B = {2, 3, 5}.
C: ocorrência de número menor que 4. C = {1, 2, 3}.
D: ocorrência de número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω.
E: ocorrência de número maior ou igual a 7. E = ϕ.
IV – Combinações de Eventos
União de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B.
Intersecção de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A ∩ B é a intersecção entre o evento A e o evento B.
Em particular, se A ∩ B = Ø, A e B são chamados mutuamente exclusivos.
Complementar de um Evento
Seja A um evento; então AC será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
Dizemos que AC é o evento complementar de A.
Exemplos:
2º.) Um dado é lançado e observado o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorrência de número par A = {2, 4, 6}
B: ocorrência de número maior ou igual a 4 B = {4, 5, 6}
C: ocorrência de número ímpar C = {1, 3, 5}
Então teremos:
A∪B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 4.
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
A ∩ B: ocorrência de um número par e um número maior ou igual a 4.
A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C: ocorrência de um número par e um número ímpar.
A ∩ C = ∅ (A e C mutuamente exclusivos).
AC: ocorrência de um número não par
AC = {1, 3, 5}
BC : ocorrência de um número menor que 4
BC = {1, 2, 3}
União de n Eventos
Seja A1, A2, ..., An uma sequência de eventos, então
⋃_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∪ A2 ∪ ...∪ An
Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos Aj ocorrer. Dizemos que A1, A2, ..., An.
Intersecção de n Eventos
Seja A1, A2, ...,An uma sequência de eventos, então
⋂_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∩ A2 ∩ ... An
Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos Aj ocorrerem simultaneamente.
Exemplos:
3º.) Um número é sorteado entre os 100 inteiros. Sejam os eventos Ai: ocorrência de um número maior que i, qualquer que seja i ∈ {1, 2, 3, 4}
Então:
A1 = {2, 3,: ...,100}
A2 = {3, 4, ..., 100}
A3 = {4, 5, ..., 100}
A4 = {5, 6, ... 100}
⋃_(i=1 )^4▒〖Ai= 〗
{2, 3, ..., 100}
⋂_(i=1)^4▒〖Ai= 〗
{5, 6, ..., 100}
Atividades:
3º.) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Seja Ω = {1, 2, 3, ..., 29, 30}. Descrever os eventos:
O número obtido é par,
O número obtido é ímpar,
O número obtido é primo,
O número obtido é maior que 16,
O número é múltiplo de 2 e 5,
O número é múltiplo de 3 ou de 8,
O número não é múltiplo de 6.
4º.) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados. Seja Ω o conjunto dos pares (a, b) onde a representa o número do dado verde e b do dado vermelho.
Descrever os eventos:
A: ocorre 3 no dado verde,
B: ocorrem números iguais nos dois dados,
C: ocorre número 2 em ao menos um dado,
D: ocorrem números cuja soma é 7,
E: ocorrem números cuja a soma é menor que 7.
5º.) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:
Ω = {(K, 1); (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6); (C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (c, 6)}.
Descrever os eventos:
A: ocorre cara,
B: ocorre número par,
C: ocorre o número 3,
A ∪ B,
B ∩ C,
A ∩ C,
AC,
CC.
V – Frequência Relativa
Num experimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que irá ocorrer, sabemos que alguns eventos ocorrem frequentemente e outros, raramente. Desejamos então, associar os eventos, números que nos dêem uma indicação quantitativa da ocorrência dos mesmos, quando o experimento é repetido muitas vezes, nas mesmas condições.
Exemplos:
4º.) Se lançarmos um dado 100 vezes (N = 100) e observarmos o número 2 (evento 2) 18 vezes, então, a freqüência relativa desse evento elementar será:
F2 = 18/100 = 0,18.
VI - Definição de Probabilidade
A freqüência relativa nos dá uma informação quantitativa da ocorrência de um evento, quando o experimento é realizado um grande número de vezes. Ao definirmos um número associado a cada evento, que tenha características da freqüência relativa, dá-se o nome de probabilidade.
Exemplos:
4º.) Ω = {a1, a2, a3, a4}.
Consideremos a distribuição de probabilidades:
p1 = 0,1; p2 = 0,3; p3 = 0,2 e p4 = 0,4.
Seja o evento A = {a1, a2, a3, a4}. Então, por definição:
P (A) = p1 + p2 + p4 = 0,1 + 0,3 + 0,4 = 0,8.
5º.) Uma moeda é lançada e observada a face de cima.
Temos:
Ω = {K, C}
Uma distribuição razoável para Ω seria: p1 = p2 = ½.
Isto significa que admitimos que a freqüência relativa de caras e de coroas é próxima de ½ quando a moeda é lançada muitas vezes.
Experiências históricas foram feitas por Buffon, que lançou uma moeda 4048 vezes e observou o resultado cara 2048 vezes (freqüência relativa de caras: 2048/4048 = 0,5059).
VII – Espaços Amostrais Equiprováveis
Seja Ω = {a1, a2, a3, a4,...ak}. Uma distribuição de probabilidades sobre Ω é equiprovável, se p1 = p2 = p4 = ...pk isto é, se todos os eventos elementares de Ω tiveram a mesma probabilidade.
Exemplos:
5º.) De um baralho de 52 cartas, uma delas é escolhida.
Seja: Ω = {2c, 2o, 2e, 2p, 3c, 3o, 3e, 3p, ..., Ac, Ao, Ae, Ap}.
Os índices c, o, e, p indicam, respectivamente, naipe de copas, ouros, espadas e paus.
É razoável supor que cada evento elementar tenha a mesma probabilidade. Como temos 52 elementos em Ω então a probabilidade de qualquer evento é:
P = 1/52.
Seja o evento A: a carta é um rei.
Então: A = {Kc, Ko, Ke, Kp}
P (A) 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 1/13.
Atividades:
6º.) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
O número 2;
Um número par;
Um número múltiplo de 3.
7º.) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
As duas cartas são “damas”;
As duas cartas são de “ouros”.
8º.) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
O número 1;
Um número primo;
Um número divisível por 2;
Um número menor que 5;
Um número maior que 6.
9º.) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
Os números são iguais;
A soma dos números é igual a 9.
10º.) Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo-se probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente?
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8?
Observarmos um número não múltiplo de 5?
11º.) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de:
Ocorrer número par,
Ocorrer número maior ou igual a 5.
luciocarnauba@ibest.com.br
PCOP de Matemática do Ensino Fundamental II da DERO
I-EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer em um experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
Exemplos de Experimentos Aleatórios:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.
II - Espaço Amostral
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Ω= {K,C} onde K representa cara e C,coroa.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.
Ω= {1,2,3,4,5,6}.
Atividades:
Dar um espaço amostral para cada experimento abaixo.
1º.) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
2º.) Uma letra contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é extraída e observada sua cor.
III – EVENTO
Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω. Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Exemplos:
1º.) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eis alguns eventos
A: ocorrência de um número ímpar. A = {1, 3, 5}.
B: ocorrência de número primo. B = {2, 3, 5}.
C: ocorrência de número menor que 4. C = {1, 2, 3}.
D: ocorrência de número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω.
E: ocorrência de número maior ou igual a 7. E = ϕ.
IV – Combinações de Eventos
União de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B.
Intersecção de dois Eventos
Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A ∩ B é a intersecção entre o evento A e o evento B.
Em particular, se A ∩ B = Ø, A e B são chamados mutuamente exclusivos.
Complementar de um Evento
Seja A um evento; então AC será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
Dizemos que AC é o evento complementar de A.
Exemplos:
2º.) Um dado é lançado e observado o número da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorrência de número par A = {2, 4, 6}
B: ocorrência de número maior ou igual a 4 B = {4, 5, 6}
C: ocorrência de número ímpar C = {1, 3, 5}
Então teremos:
A∪B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 4.
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
A ∩ B: ocorrência de um número par e um número maior ou igual a 4.
A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C: ocorrência de um número par e um número ímpar.
A ∩ C = ∅ (A e C mutuamente exclusivos).
AC: ocorrência de um número não par
AC = {1, 3, 5}
BC : ocorrência de um número menor que 4
BC = {1, 2, 3}
União de n Eventos
Seja A1, A2, ..., An uma sequência de eventos, então
⋃_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∪ A2 ∪ ...∪ An
Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos Aj ocorrer. Dizemos que A1, A2, ..., An.
Intersecção de n Eventos
Seja A1, A2, ...,An uma sequência de eventos, então
⋂_(i=1)^n▒〖Ai=〗
A1 ∩ A2 ∩ ... An
Será também um evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos Aj ocorrerem simultaneamente.
Exemplos:
3º.) Um número é sorteado entre os 100 inteiros. Sejam os eventos Ai: ocorrência de um número maior que i, qualquer que seja i ∈ {1, 2, 3, 4}
Então:
A1 = {2, 3,: ...,100}
A2 = {3, 4, ..., 100}
A3 = {4, 5, ..., 100}
A4 = {5, 6, ... 100}
⋃_(i=1 )^4▒〖Ai= 〗
{2, 3, ..., 100}
⋂_(i=1)^4▒〖Ai= 〗
{5, 6, ..., 100}
Atividades:
3º.) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Seja Ω = {1, 2, 3, ..., 29, 30}. Descrever os eventos:
O número obtido é par,
O número obtido é ímpar,
O número obtido é primo,
O número obtido é maior que 16,
O número é múltiplo de 2 e 5,
O número é múltiplo de 3 ou de 8,
O número não é múltiplo de 6.
4º.) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados. Seja Ω o conjunto dos pares (a, b) onde a representa o número do dado verde e b do dado vermelho.
Descrever os eventos:
A: ocorre 3 no dado verde,
B: ocorrem números iguais nos dois dados,
C: ocorre número 2 em ao menos um dado,
D: ocorrem números cuja soma é 7,
E: ocorrem números cuja a soma é menor que 7.
5º.) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:
Ω = {(K, 1); (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6); (C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (c, 6)}.
Descrever os eventos:
A: ocorre cara,
B: ocorre número par,
C: ocorre o número 3,
A ∪ B,
B ∩ C,
A ∩ C,
AC,
CC.
V – Frequência Relativa
Num experimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que irá ocorrer, sabemos que alguns eventos ocorrem frequentemente e outros, raramente. Desejamos então, associar os eventos, números que nos dêem uma indicação quantitativa da ocorrência dos mesmos, quando o experimento é repetido muitas vezes, nas mesmas condições.
Exemplos:
4º.) Se lançarmos um dado 100 vezes (N = 100) e observarmos o número 2 (evento 2) 18 vezes, então, a freqüência relativa desse evento elementar será:
F2 = 18/100 = 0,18.
VI - Definição de Probabilidade
A freqüência relativa nos dá uma informação quantitativa da ocorrência de um evento, quando o experimento é realizado um grande número de vezes. Ao definirmos um número associado a cada evento, que tenha características da freqüência relativa, dá-se o nome de probabilidade.
Exemplos:
4º.) Ω = {a1, a2, a3, a4}.
Consideremos a distribuição de probabilidades:
p1 = 0,1; p2 = 0,3; p3 = 0,2 e p4 = 0,4.
Seja o evento A = {a1, a2, a3, a4}. Então, por definição:
P (A) = p1 + p2 + p4 = 0,1 + 0,3 + 0,4 = 0,8.
5º.) Uma moeda é lançada e observada a face de cima.
Temos:
Ω = {K, C}
Uma distribuição razoável para Ω seria: p1 = p2 = ½.
Isto significa que admitimos que a freqüência relativa de caras e de coroas é próxima de ½ quando a moeda é lançada muitas vezes.
Experiências históricas foram feitas por Buffon, que lançou uma moeda 4048 vezes e observou o resultado cara 2048 vezes (freqüência relativa de caras: 2048/4048 = 0,5059).
VII – Espaços Amostrais Equiprováveis
Seja Ω = {a1, a2, a3, a4,...ak}. Uma distribuição de probabilidades sobre Ω é equiprovável, se p1 = p2 = p4 = ...pk isto é, se todos os eventos elementares de Ω tiveram a mesma probabilidade.
Exemplos:
5º.) De um baralho de 52 cartas, uma delas é escolhida.
Seja: Ω = {2c, 2o, 2e, 2p, 3c, 3o, 3e, 3p, ..., Ac, Ao, Ae, Ap}.
Os índices c, o, e, p indicam, respectivamente, naipe de copas, ouros, espadas e paus.
É razoável supor que cada evento elementar tenha a mesma probabilidade. Como temos 52 elementos em Ω então a probabilidade de qualquer evento é:
P = 1/52.
Seja o evento A: a carta é um rei.
Então: A = {Kc, Ko, Ke, Kp}
P (A) 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 1/13.
Atividades:
6º.) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
O número 2;
Um número par;
Um número múltiplo de 3.
7º.) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
As duas cartas são “damas”;
As duas cartas são de “ouros”.
8º.) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
O número 1;
Um número primo;
Um número divisível por 2;
Um número menor que 5;
Um número maior que 6.
9º.) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
Os números são iguais;
A soma dos números é igual a 9.
10º.) Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo-se probabilidades iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:
Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente?
Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8?
Observarmos um número não múltiplo de 5?
11º.) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de:
Ocorrer número par,
Ocorrer número maior ou igual a 5.
luciocarnauba@ibest.com.br
PCOP de Matemática do Ensino Fundamental II da DERO
Análise Combinatória/46
Análise Combinatória
Situações de Aprendizagem
1º.) Uma moça, ao se preparar para uma festa, resolveu escolher uma corrente, entre as duas que possui, e um brinco dentre os 4 que possui. De quantas maneiras distintas ela poderá fazer tal escolha?
2º.) Considere agora que a mesma moça tem também três pulseiras e resolveu escolher também uma pulseira para colocar. Quantas seriam as formas distintas de sair, para a tal festa, com uma corrente, um par de brincos e uma pulseira.
3º.) Considere ainda que, a mesma, moça, além da corrente, brincos e pulseiras , também desejasse escolher um dentre 8 anéis que possui e um dentre 3 relógios. Quantos seriam os casos possíveis agora?
4º.) Um jovem jogou 2 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter? (represente)
5º.) Um apostador lançou dois dados. Para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles? (Represente o espaço amostral)
6º.) Um jovem jogou 5 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter?
7º.) Um apostador lançou três dados para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles?
8º.) Suponhamos que uma senhora precisa ir à reunião na escola onde seu filho estuda. Ela pretende ir de saia e blusa ou calça e blusa. Sabendo-se que ela tem: 5 blusas, 3 calças e 4 saias, de quantas maneiras distintas ela poderá se vestir para a reunião.
9º.) Uma jovem possui 2 camisas brancas e uma azul, uma calça azul clara e duas escuras.
a) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca.
b) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de calça escura?
c) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca e calça escura?
d) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca ou de calça escura?
10º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números com 3 dígitos (distintos ou não) podem ser formados.
11º.) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 30 dígitos podem ser formados?
12º.) Num computador, um bit é um dos dígitos, 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 24 bits?
13º.) Quantas placas de automóveis podemos obter considerando que elas têm 3 letras e 4 dígitos? (admita que podemos ter placa com todos os dígitos iguais a zero).
14º.) Um professor deu a seus alunos uma folha de sulfite com um desenho parecido com nossa bandeira, isto é, um retângulo, com um losango desenhado no seu interior e um círculo no interior do losango. Pediu a seus alunos que pintassem o círculo de uma cor, a região do losango, externa ao círculo, de outra cor e a região do retângulo, externa ao losango, de cor diferente das já utilizadas. De quantas formas distintas a tarefa poderá ser realizada se, o professor estipulou que só poderiam ser usadas nas cores: azul, vermelho, verde, amarelo, marrom, cinza, rosa ou preto.
15º.) Num concurso de Rainha do Carnaval ficaram 5 finalistas: Ana, Eda, Ida, Eva e Elis. Os juízes devem classificar a 1º., 2º. e 3º. colocadas. De quantas maneiras distintas poderão fazê-lo?
16º.) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?
17º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?
18º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?
19º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?
20º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos são os números com algarismos distintos existentes entre 600 e 1000?
21º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?
22º.) Com os algarismos: 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 5 dígitos distintos podemos formar?
23º.) Quantos anagramas da palavra CONTAGEM podemos formar?
24º.) Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO podemos formar?
25º.) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ELE?
26º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra AMADA?
27º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra DANADA?
28º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra COMBINATÓRIA?
29º.) Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos: 2, 2, 3, 3, 3 e 5?
30º.) Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. Quantos são os modos possíveis de colocar 2 caras e 4 coroas para cima?
31º.) Se uma pessoa gasta exatamente 5 segundos para escrever cada anagrama da palavra PAPAGAIO, quanto tempo levará para escrever todos os possíveis anagramas, se não parar para descansar?
32º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra: ESTATÍSTICA?
33º.) De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? (fazer a experiência na sala de aula)
34º.) Considere agora que temos 4 pessoas para sentar ao redor de uma mesa.
35º.) O mesmo para 5 pessoas.
36º.) De quantas maneiras distintas, 14 crianças podem brincar de roda?
37º.) Quantas pulseiras distintas podemos montar com 15 contas de cores distintas?
38º.) 2 meninos e 2 meninas vão brincar de roda. Quantas rodas “distintas” podem ser formadas, se os meninos devem estar intercalados às meninas?
39º.) O mesmo para 3 meninos e 3 meninas.
40º.) O mesmo para n meninos e n meninas, nЄN*.
41º.) Numa sala com 30 alunos queremos selecionar 4 para representá-los num determinado evento. De quantas maneiras distintas poderemos fazê-lo?
42º.) Uma prova consta de 12 questões das quais ele precisa escolher 10 para resolver. De quantas maneiras poderá fazê-lo?
43º.) Numa classe temos 15 meninas e 10 meninos. Quantas comissões de 5 estudantes podem ser formadas de modo que cada comissão “tenha no mínimo 3 meninas”?
44º.) No caso anterior, se quiséssemos que as comissões tivessem “pelo menos “ uma menina”?
45º.) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos poderá ele associar 6 delas, se entre as 10, duas somente não podem ser juntadas por produzirem mistura explosiva?
46º.) Numa festa, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 435 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na festa?
Situações de Aprendizagem
1º.) Uma moça, ao se preparar para uma festa, resolveu escolher uma corrente, entre as duas que possui, e um brinco dentre os 4 que possui. De quantas maneiras distintas ela poderá fazer tal escolha?
2º.) Considere agora que a mesma moça tem também três pulseiras e resolveu escolher também uma pulseira para colocar. Quantas seriam as formas distintas de sair, para a tal festa, com uma corrente, um par de brincos e uma pulseira.
3º.) Considere ainda que, a mesma, moça, além da corrente, brincos e pulseiras , também desejasse escolher um dentre 8 anéis que possui e um dentre 3 relógios. Quantos seriam os casos possíveis agora?
4º.) Um jovem jogou 2 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter? (represente)
5º.) Um apostador lançou dois dados. Para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles? (Represente o espaço amostral)
6º.) Um jovem jogou 5 moedas, quantos resultados distintos ele poderá obter?
7º.) Um apostador lançou três dados para decidir em que apostaria, pensou inicialmente nos resultados distintos que ele poderia obter. Quantos são eles?
8º.) Suponhamos que uma senhora precisa ir à reunião na escola onde seu filho estuda. Ela pretende ir de saia e blusa ou calça e blusa. Sabendo-se que ela tem: 5 blusas, 3 calças e 4 saias, de quantas maneiras distintas ela poderá se vestir para a reunião.
9º.) Uma jovem possui 2 camisas brancas e uma azul, uma calça azul clara e duas escuras.
a) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca.
b) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de calça escura?
c) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca e calça escura?
d) De quantos modos distintos pode ele se vestir, se ele pretende sair de camisa branca ou de calça escura?
10º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números com 3 dígitos (distintos ou não) podem ser formados.
11º.) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 30 dígitos podem ser formados?
12º.) Num computador, um bit é um dos dígitos, 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 24 bits?
13º.) Quantas placas de automóveis podemos obter considerando que elas têm 3 letras e 4 dígitos? (admita que podemos ter placa com todos os dígitos iguais a zero).
14º.) Um professor deu a seus alunos uma folha de sulfite com um desenho parecido com nossa bandeira, isto é, um retângulo, com um losango desenhado no seu interior e um círculo no interior do losango. Pediu a seus alunos que pintassem o círculo de uma cor, a região do losango, externa ao círculo, de outra cor e a região do retângulo, externa ao losango, de cor diferente das já utilizadas. De quantas formas distintas a tarefa poderá ser realizada se, o professor estipulou que só poderiam ser usadas nas cores: azul, vermelho, verde, amarelo, marrom, cinza, rosa ou preto.
15º.) Num concurso de Rainha do Carnaval ficaram 5 finalistas: Ana, Eda, Ida, Eva e Elis. Os juízes devem classificar a 1º., 2º. e 3º. colocadas. De quantas maneiras distintas poderão fazê-lo?
16º.) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?
17º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?
18º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?
19º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?
20º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos são os números com algarismos distintos existentes entre 600 e 1000?
21º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?
22º.) Com os algarismos: 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 5 dígitos distintos podemos formar?
23º.) Quantos anagramas da palavra CONTAGEM podemos formar?
24º.) Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO podemos formar?
25º.) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ELE?
26º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra AMADA?
27º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra DANADA?
28º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra COMBINATÓRIA?
29º.) Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos: 2, 2, 3, 3, 3 e 5?
30º.) Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. Quantos são os modos possíveis de colocar 2 caras e 4 coroas para cima?
31º.) Se uma pessoa gasta exatamente 5 segundos para escrever cada anagrama da palavra PAPAGAIO, quanto tempo levará para escrever todos os possíveis anagramas, se não parar para descansar?
32º.) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra: ESTATÍSTICA?
33º.) De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? (fazer a experiência na sala de aula)
34º.) Considere agora que temos 4 pessoas para sentar ao redor de uma mesa.
35º.) O mesmo para 5 pessoas.
36º.) De quantas maneiras distintas, 14 crianças podem brincar de roda?
37º.) Quantas pulseiras distintas podemos montar com 15 contas de cores distintas?
38º.) 2 meninos e 2 meninas vão brincar de roda. Quantas rodas “distintas” podem ser formadas, se os meninos devem estar intercalados às meninas?
39º.) O mesmo para 3 meninos e 3 meninas.
40º.) O mesmo para n meninos e n meninas, nЄN*.
41º.) Numa sala com 30 alunos queremos selecionar 4 para representá-los num determinado evento. De quantas maneiras distintas poderemos fazê-lo?
42º.) Uma prova consta de 12 questões das quais ele precisa escolher 10 para resolver. De quantas maneiras poderá fazê-lo?
43º.) Numa classe temos 15 meninas e 10 meninos. Quantas comissões de 5 estudantes podem ser formadas de modo que cada comissão “tenha no mínimo 3 meninas”?
44º.) No caso anterior, se quiséssemos que as comissões tivessem “pelo menos “ uma menina”?
45º.) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos poderá ele associar 6 delas, se entre as 10, duas somente não podem ser juntadas por produzirem mistura explosiva?
46º.) Numa festa, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 435 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na festa?
Análise Combinatória/102
Análise Combinatória
1º.) Considerando os números de telefone com 4 dígitos que representam os centros telefônicos e outros 4 que representam as linhas de um mesmo centro, quantos números de telefone podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, tais que os 4 dígitos de cada grupo são distintos e os números de telefone comecem por 5?
2º.) Uma fila de 8 carteiras é reservada pelo professor para os alunos que chegarem atrasados. Sabendo-se que apenas 3 alunos chegaram atrasados num determinado dia, qual o total de possibilidades destes alunos se acomodarem em carteiras especificadas?
3º.) Sabe-se que: An,,3 = 3.(n-1), com n ≥ 3. Determine o valor de n.
4º.) Num campeonato de futebol, temos 8 participantes. Se queremos, num primeiro turno, que todos joguem com todos (em campo neutro), quantos jogos são necessários?
5º) Quantos números ímpares, compreendidos entre 2000 e 7000, podemos formar com os algarismos: 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que os algarismos sejam todos distintos?
6º) São desenhadas duas retas paralelas. Numa delas são demarcados 5 pontos e na outra 9. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se pontos dentre ao que foram definidos nas duas retas?
7º.) Considerando os anagramas que podem ser formados a partir da palavra PERNAMBUCO.
a) Quantos começam com NA?
b) Quantos começam com NA e terminam com PE?
c) Quantos terminam com PE?
d) Quantos começam com NA ou terminam com PE?
e) Quantos têm as letras PENA juntas?
f) Quantos têm as letras PENA juntas e nessa ordem?
8º.) Um trem é constituído de uma locomotiva e 10 vagões diferentes, sendo um deles restaurante. De quantas maneiras podemos compor tal trem se, a locomotiva deve vir à frente e o restaurante não pode vir imediatamente após a locomotiva?
9º.) Determinar x e y tais que: Cx,y-1/2 = Cx,y/3 = Cx, y+1/4
10º.) Com 8 consoantes distintas e as 5 vogais, quantos anagramas podemos formar?
11º) Quantos anagramas da palavra PARANAPIACABA podem ser formados?
12º.) Um estudante resolveu organizar seus livros na estante de modo que a mesma disciplina fiquem juntas. Quantos são os modos possíveis de fazê-lo se ele tem 5 livros de matemática, 3 de física, 4 de português, 2 de história, 2 de geografia e 1 de inglês?
13º.) A diretora de uma firma é constituída por 4 diretores e 15 gerentes. Quantas comissões com 4 membros podem ser formados de modo que:
A) Tenha exatamente um diretor?
B) Tenha ao menos um diretor?
14º.) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos pontos marcados?
15º.) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
16º.) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?
17º.) De um grupo de 4 pessoas, de quantas maneiras pode se convidar uma ou mais para jantar?
18º.) Num avião de 9 lugares, viajam 9 pessoas, das quais 3 têm condições de operar como piloto ou copiloto. De quantas maneiras essas pessoas podem se distribuir no avião?
19º.) Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade para 5 doces dada uma. Sabendo-se que ele fabrica 12 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens, com 5 doces diferentes, ele poderá oferecer?
20º.) Um feirante possui, em sua banca, maças, peras e pêssegos em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas de modo que cada pacote contivesse exatamente 4 frutas. Quantas tipos de pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela?
21º.) Sejam x e y números naturais maiores que 1 e tais que:
{ Ax+y, 2 = 56 e { Cx-y, = 1
Qual o valor de x.y?
22º.) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 são pretas?
23º.) Num jogo de dardos, o alvo é uma circunferência que se mantém girando durante o jogo. Existem 15 pontos eqüidistantes marcados nessa circunferência e, a cada um deles, corresponde um valor distinto dos demais. De quantas maneiras podemos distribuir esses valores na circunferência?
24º.) Considere todos os números naturais de 4 algarismos do nosso sistema de numeração. Quantos destes números apresentam o algarismo 3 pelo menos uma vez?
25º.) Quantos resultados diferentes podem ocorrer no sorteio da LOTO? ( Observação: considere que no jogo da LOTO são sorteados 5 números distintos entre 00 e 99).
26º.) Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas juntas diferentes podemos formar, de modo que, entre os integrantes, haja:
a) 3 cardiologistas e 2 pediatras?
b) No mínimo um pediatra?
c) No máximo um pediatra?
27º.) Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos têm fortes diferenças pessoais. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convidados, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?
28º.) De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível formar, de modo que entre elas haja:
a) Exatamente um ás?
b) Pelo menos um ás?
c) Exatamente duas figuras?
d) Pelo menos duas figuras?
e) No máximo duas figuras?
29º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados de modo que os dois primeiros dígitos sejam diferentes de zero ou o segundo e o terceiro dígitos sejam diferentes de zero?
30º.) Se lançarmos um dado duas vezes seguidas, quantas são as possibilidades de obtermos:
a) Soma 7?
b) Soma 10?
c) Soma 15
31º.) Determine quantas peças há num jogo de dominó, lembrando que cada peça é formada por dois quadrados que representam números naturais de 0 a 6.
32º.) Se jogarmos sobre uma mesa um dado e uma moeda, quantas serão os resultados possíveis?
33º.) Quantos anagramas podemos obter a partir da palavra SOMAR?
34º.) Quantas sequências diferentes podemos obter retirando duas cartas – uma de cada vez – de um baralho que tem 52 cartas , sem repor as já retiradas?
35º.) Quantos números naturais de quatro algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 5 e 6?
36º.) Num carro, vão viajar oito passageiros e o motorista. Quantos lugares distintos os oito passageiros podem ocupar no veículo?
37º.) Entre os seis vereadores de um partido, três serão escolhidos para representá-lo numa convenção nacional. Quantas possibilidades de escolha existem?
38º.) Lúcia jogou um dado três vezes seguidas. Quantos resultados diferentes ela poderá ter obtido?
39º.) Uma urna contém cinco bolas: uma azul, uma vermelha, uma preta, uma amarela e uma verde. Quantas são as possibilidades de se retirar 3 bolas sem reposição?
40º.) Uma placa de automóvel é formada por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos dez algarismos do sistema decimal?
41º.) Cinco amigos vão viajar num carro de cinco lugares. Descubra quantas possibilidades diferentes de acomodação existem, considerando que todos sabem dirigir?
42º.) Uma agência de propaganda vai criar o nome de um novo produto, fazendo um anagrama da palavra BONECA. Sabendo que a sílaba NE terá que aparecer, descubra quantos anagramas são possíveis.
43º.) Uma prova é constituída por dez testes do tipo “verdadeiro ou falso”. De quantas maneiras diferentes um candidato poderá responder aos dez testes, não deixando nenhum sem resposta e assinalando apenas uma alternativa em cada um?
44º.) Quantos anagramas da palavra BARRAR começam com R?
45º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos?
46º.) Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos: 1, 3, 4, 5, 6 e 8 de modo que o algarismo das unidades seja menor que quatro ou o algarismo das dezenas seja par?
47º.) Qual é o total de múltiplos positivos de 5, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6?
48º.) Sabendo-se que o segredo de um cofre é uma sequência de quatro algarismos distintos e que o primeiro algarismo é o triplo do segundo, qual é o maior número de tentativas diferentes que podemos fazer para conseguir abri-lo?
49º.) De quantos modos podemos dispor cinco meninas e quatro meninos em fila indiana de modo que crianças de mesmo sexo não fiquem juntas?
50º.) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados por: 3, 4, 5, 6 e 7 que não sejam múltiplos de 5?
51º.) Qual é o número de anagramas da palavra VOLUME que apresentam a letra V antes da letra L?
52º.) Obter o número de anagramas da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantêm nas respectivas posições.
53º.) Quantos anagramas tem a palavra RETRATAR?
54º.) Lançando-se uma moeda seis vezes, quantas sequências diferentes de resultados apresentam quatro caras e duas coroas?
55º.) Quantos subconjuntos de três elementos possui um conjunto de cinco elementos?
56º.) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze, dois são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?
57º.) Numa pista circular será disputada uma prova de atletismo. Cinco juízes serão colocados em cinco pontos distintos dessa pista. Quantas são as possíveis disposições para esses juízes?
58º.) Uma roleta é dividida em 6 setores. Em cada setor será colocado um dos números: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, em qualquer disposição. Em quantas posições diferentes podem ser distribuídas esses números?
59º.) Algumas pérolas artificiais, de cores diferentes entre si, formarão um colar sem fecho. Se com essas pérolas o poder ser feito de 5040 maneiras diferentes, calcule o número de pérolas.
60º.) Determine o número de anagramas da palavra VIOLINO.
61º.) De quantas maneiras podemos distribuir 4 bolas brancas e 3 pretas em 9 orifícios, sabendo-se que cada orifício só cabe uma bolinha?
62º.) Em quantos anagramas da palavra DIÁSTOLE, nem D e I, nem L e E estão juntos?
63º.) Estando numa esquina, um homem deseja caminhar até a outra esquina, que dista 4 quarteirões na direção norte e 5 na direção oeste, onde ele está. De quantos modos poderá caminhar até o destino desejado, se só poderá andar na direção oeste ou norte?
64º.) Dispondo dos algarismos 0, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 4 algarismos, divisíveis por 2 e inferiores a 5000 podemos formar, tendo ao menos um dígito repetido?
65º.) De quantas maneiras podemos, num quadriculado 4 x 4, dispor 4 fichas, sendo que, em cada linha e em cada coluna, só deverá existir uma única ficha?
a) Fichas idênticas;
b) Fichas distintas;
c) Fichas brancas e 2 pretas;
66º.) Quantos divisores possui o número 720?
67º.) Existem 4 caminhos que levam de A à B e 3 caminhos que levam de B à C. De quantos modos diferentes pode-se ir:
a) de A à C passando por B?;
b) de A à C e voltando à A, passando por B na ida e na volta;
c) o mesmo que b), mas sem usar o mesmo caminho?
68º.) Quantos números de 8 algarismos têm pelo menos um 7?
69º.) Quantos números podemos formar por multiplicação de um, alguns ou todos, com os dígitos: 2, 3, 4, 4, 5, 5 e 5? E se os números fossem: 2, 3, 4 e 5?
70º.) Com os algarismos: 1, 4, 5, 7, 8 e 0, quantos números podemos formar, tais que:
a) sejam de 4 algarismos distintos?
b) sejam de 4 algarismos distintos e divisíveis por 5?
c) sejam de 4 algarismos distintos, não divisíveis por 5 e no máximo com 4 dígitos?
71º.) Uma professora do pré tem 16 crianças, sendo 8 meninas. De quantas maneiras a professora pode organizar essas crianças:
a) em fila indiana para uma caminhada? (uma atrás da outra);
b) em roda para uma brincadeira?;
c) em fila indiana para uma caminhada, se pretende alternar meninos e meninas? e
d) em roda para uma brincadeira, se pretende alternar meninos e meninas?
72º.) Uma comissão é constituída de 2 grupos de 6 pessoas cada (total de 12 pessoas). Deve-se proceder a escolha de 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro e 2 secretários, dentre os membros da comissão, de modo que, o presidente e o vice-presidente, sejam provenientes de grupos distintos. De quantos modos pode se fazer tal escolha?
73º.) Ao arrecadar prendas numa sala, dentre outras, obteve-se: 20 pacotes de 1 kg de arroz, 20 pacotes de 1 kg de feijão, 15 pacotes de 1kg de açúcar e 5 pacotes de 1 kg de sal. Os organizadores resolveram montar sacolas de 3 kg de mantimento.
a) Quantas sacolas serão montadas?
b) Se os organizadores escolherem, ao acaso, os 3 pacotes de 1 kg, dentre os 60 recolhidos, quantos tipos de sacolas seriam possíveis de ser montadas?
74º.) A partir da palavra PARANAPIACABA,
a) Quantos anagramas existem?;
b) Quantos começam por R? ;
c) Quantos terminam por P? e
d) Considerando as letras, sem as repetições, isto é, P, A, R, N, I, C e B, de quantas formas podemos selecionar 3 ou mais letras, de modo que o anagrama obtido tenha consoantes e vogais alternadas?
75º.) 7 estudantes devem ser alojados em 3 quartos de uma residência universitária; 2 dos quartos têm acomodações para 2 estudantes e o outro, para 3. De quantos modos pode-se acomodá-los?
76º.) Um homem vai a um restaurante com a intenção de pedir uma entrada, um prato de carne, um acompanhamento e uma sobremesa. Se o restaurante oferece no cardápio 6 entradas, 10 pratos com carne, 9 acompanhamentos e 6 sobremesas, de quantos modos poderá compor seu pedido?
77º.) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não o é). Qual o número de senhas válidas?
78º.) A unidade de informação nos computadores é o bit, que pode estar em dois estados identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma sequência de bits, podem ser criados código capazes de representar números, caracteres, figuras, tec. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma sequência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita. Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar?
79º.) Anagramas da palavra CAPÍTULO:
a) Que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
b) Que Têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
c) Que têm vogais e as consoantes intercaladas?
d) Que têm a letra C no 1º. Lugar e a letra A no 2º. Lugar?
e) Que têm a letra C no 1º. Lugar ou a letra A no 2º. Lugar?
80º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?
81º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?
82º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?
83º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com algarismos distintos existem entre 600 e 1000?
84º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?
85º.) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que lugar ocupa o número 68412?
86º.) Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?
87º.) Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
88º.) Com relação a palavra TEORIA:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por T?
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas tem as vogais juntas?
89º.) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoantes?
90º.) Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos?
91º.) De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
92º.) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?
93º) Quantos números pares de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8 e 9?
94º.) Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
95º.) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os 7 existentes. De quantas formas isto pode ser feito?
96º.) Obter todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, 0} tomados dois a dois.
97º.) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
98º.) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
99º.) Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?
100º.) De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam os 4 ases?
101º.) Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
102º) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 Matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que:
a) Nenhum membro seja matemático?
b) Todos os matemáticos participem da comissão?
c) Haja exatamente um matemático na comissão?
d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
1º.) Considerando os números de telefone com 4 dígitos que representam os centros telefônicos e outros 4 que representam as linhas de um mesmo centro, quantos números de telefone podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, tais que os 4 dígitos de cada grupo são distintos e os números de telefone comecem por 5?
2º.) Uma fila de 8 carteiras é reservada pelo professor para os alunos que chegarem atrasados. Sabendo-se que apenas 3 alunos chegaram atrasados num determinado dia, qual o total de possibilidades destes alunos se acomodarem em carteiras especificadas?
3º.) Sabe-se que: An,,3 = 3.(n-1), com n ≥ 3. Determine o valor de n.
4º.) Num campeonato de futebol, temos 8 participantes. Se queremos, num primeiro turno, que todos joguem com todos (em campo neutro), quantos jogos são necessários?
5º) Quantos números ímpares, compreendidos entre 2000 e 7000, podemos formar com os algarismos: 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que os algarismos sejam todos distintos?
6º) São desenhadas duas retas paralelas. Numa delas são demarcados 5 pontos e na outra 9. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se pontos dentre ao que foram definidos nas duas retas?
7º.) Considerando os anagramas que podem ser formados a partir da palavra PERNAMBUCO.
a) Quantos começam com NA?
b) Quantos começam com NA e terminam com PE?
c) Quantos terminam com PE?
d) Quantos começam com NA ou terminam com PE?
e) Quantos têm as letras PENA juntas?
f) Quantos têm as letras PENA juntas e nessa ordem?
8º.) Um trem é constituído de uma locomotiva e 10 vagões diferentes, sendo um deles restaurante. De quantas maneiras podemos compor tal trem se, a locomotiva deve vir à frente e o restaurante não pode vir imediatamente após a locomotiva?
9º.) Determinar x e y tais que: Cx,y-1/2 = Cx,y/3 = Cx, y+1/4
10º.) Com 8 consoantes distintas e as 5 vogais, quantos anagramas podemos formar?
11º) Quantos anagramas da palavra PARANAPIACABA podem ser formados?
12º.) Um estudante resolveu organizar seus livros na estante de modo que a mesma disciplina fiquem juntas. Quantos são os modos possíveis de fazê-lo se ele tem 5 livros de matemática, 3 de física, 4 de português, 2 de história, 2 de geografia e 1 de inglês?
13º.) A diretora de uma firma é constituída por 4 diretores e 15 gerentes. Quantas comissões com 4 membros podem ser formados de modo que:
A) Tenha exatamente um diretor?
B) Tenha ao menos um diretor?
14º.) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos pontos marcados?
15º.) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
16º.) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?
17º.) De um grupo de 4 pessoas, de quantas maneiras pode se convidar uma ou mais para jantar?
18º.) Num avião de 9 lugares, viajam 9 pessoas, das quais 3 têm condições de operar como piloto ou copiloto. De quantas maneiras essas pessoas podem se distribuir no avião?
19º.) Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade para 5 doces dada uma. Sabendo-se que ele fabrica 12 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens, com 5 doces diferentes, ele poderá oferecer?
20º.) Um feirante possui, em sua banca, maças, peras e pêssegos em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas de modo que cada pacote contivesse exatamente 4 frutas. Quantas tipos de pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela?
21º.) Sejam x e y números naturais maiores que 1 e tais que:
{ Ax+y, 2 = 56 e { Cx-y, = 1
Qual o valor de x.y?
22º.) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 são pretas?
23º.) Num jogo de dardos, o alvo é uma circunferência que se mantém girando durante o jogo. Existem 15 pontos eqüidistantes marcados nessa circunferência e, a cada um deles, corresponde um valor distinto dos demais. De quantas maneiras podemos distribuir esses valores na circunferência?
24º.) Considere todos os números naturais de 4 algarismos do nosso sistema de numeração. Quantos destes números apresentam o algarismo 3 pelo menos uma vez?
25º.) Quantos resultados diferentes podem ocorrer no sorteio da LOTO? ( Observação: considere que no jogo da LOTO são sorteados 5 números distintos entre 00 e 99).
26º.) Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas juntas diferentes podemos formar, de modo que, entre os integrantes, haja:
a) 3 cardiologistas e 2 pediatras?
b) No mínimo um pediatra?
c) No máximo um pediatra?
27º.) Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos têm fortes diferenças pessoais. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convidados, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?
28º.) De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível formar, de modo que entre elas haja:
a) Exatamente um ás?
b) Pelo menos um ás?
c) Exatamente duas figuras?
d) Pelo menos duas figuras?
e) No máximo duas figuras?
29º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados de modo que os dois primeiros dígitos sejam diferentes de zero ou o segundo e o terceiro dígitos sejam diferentes de zero?
30º.) Se lançarmos um dado duas vezes seguidas, quantas são as possibilidades de obtermos:
a) Soma 7?
b) Soma 10?
c) Soma 15
31º.) Determine quantas peças há num jogo de dominó, lembrando que cada peça é formada por dois quadrados que representam números naturais de 0 a 6.
32º.) Se jogarmos sobre uma mesa um dado e uma moeda, quantas serão os resultados possíveis?
33º.) Quantos anagramas podemos obter a partir da palavra SOMAR?
34º.) Quantas sequências diferentes podemos obter retirando duas cartas – uma de cada vez – de um baralho que tem 52 cartas , sem repor as já retiradas?
35º.) Quantos números naturais de quatro algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 5 e 6?
36º.) Num carro, vão viajar oito passageiros e o motorista. Quantos lugares distintos os oito passageiros podem ocupar no veículo?
37º.) Entre os seis vereadores de um partido, três serão escolhidos para representá-lo numa convenção nacional. Quantas possibilidades de escolha existem?
38º.) Lúcia jogou um dado três vezes seguidas. Quantos resultados diferentes ela poderá ter obtido?
39º.) Uma urna contém cinco bolas: uma azul, uma vermelha, uma preta, uma amarela e uma verde. Quantas são as possibilidades de se retirar 3 bolas sem reposição?
40º.) Uma placa de automóvel é formada por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos dez algarismos do sistema decimal?
41º.) Cinco amigos vão viajar num carro de cinco lugares. Descubra quantas possibilidades diferentes de acomodação existem, considerando que todos sabem dirigir?
42º.) Uma agência de propaganda vai criar o nome de um novo produto, fazendo um anagrama da palavra BONECA. Sabendo que a sílaba NE terá que aparecer, descubra quantos anagramas são possíveis.
43º.) Uma prova é constituída por dez testes do tipo “verdadeiro ou falso”. De quantas maneiras diferentes um candidato poderá responder aos dez testes, não deixando nenhum sem resposta e assinalando apenas uma alternativa em cada um?
44º.) Quantos anagramas da palavra BARRAR começam com R?
45º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos?
46º.) Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos: 1, 3, 4, 5, 6 e 8 de modo que o algarismo das unidades seja menor que quatro ou o algarismo das dezenas seja par?
47º.) Qual é o total de múltiplos positivos de 5, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6?
48º.) Sabendo-se que o segredo de um cofre é uma sequência de quatro algarismos distintos e que o primeiro algarismo é o triplo do segundo, qual é o maior número de tentativas diferentes que podemos fazer para conseguir abri-lo?
49º.) De quantos modos podemos dispor cinco meninas e quatro meninos em fila indiana de modo que crianças de mesmo sexo não fiquem juntas?
50º.) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados por: 3, 4, 5, 6 e 7 que não sejam múltiplos de 5?
51º.) Qual é o número de anagramas da palavra VOLUME que apresentam a letra V antes da letra L?
52º.) Obter o número de anagramas da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantêm nas respectivas posições.
53º.) Quantos anagramas tem a palavra RETRATAR?
54º.) Lançando-se uma moeda seis vezes, quantas sequências diferentes de resultados apresentam quatro caras e duas coroas?
55º.) Quantos subconjuntos de três elementos possui um conjunto de cinco elementos?
56º.) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze, dois são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?
57º.) Numa pista circular será disputada uma prova de atletismo. Cinco juízes serão colocados em cinco pontos distintos dessa pista. Quantas são as possíveis disposições para esses juízes?
58º.) Uma roleta é dividida em 6 setores. Em cada setor será colocado um dos números: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, em qualquer disposição. Em quantas posições diferentes podem ser distribuídas esses números?
59º.) Algumas pérolas artificiais, de cores diferentes entre si, formarão um colar sem fecho. Se com essas pérolas o poder ser feito de 5040 maneiras diferentes, calcule o número de pérolas.
60º.) Determine o número de anagramas da palavra VIOLINO.
61º.) De quantas maneiras podemos distribuir 4 bolas brancas e 3 pretas em 9 orifícios, sabendo-se que cada orifício só cabe uma bolinha?
62º.) Em quantos anagramas da palavra DIÁSTOLE, nem D e I, nem L e E estão juntos?
63º.) Estando numa esquina, um homem deseja caminhar até a outra esquina, que dista 4 quarteirões na direção norte e 5 na direção oeste, onde ele está. De quantos modos poderá caminhar até o destino desejado, se só poderá andar na direção oeste ou norte?
64º.) Dispondo dos algarismos 0, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 4 algarismos, divisíveis por 2 e inferiores a 5000 podemos formar, tendo ao menos um dígito repetido?
65º.) De quantas maneiras podemos, num quadriculado 4 x 4, dispor 4 fichas, sendo que, em cada linha e em cada coluna, só deverá existir uma única ficha?
a) Fichas idênticas;
b) Fichas distintas;
c) Fichas brancas e 2 pretas;
66º.) Quantos divisores possui o número 720?
67º.) Existem 4 caminhos que levam de A à B e 3 caminhos que levam de B à C. De quantos modos diferentes pode-se ir:
a) de A à C passando por B?;
b) de A à C e voltando à A, passando por B na ida e na volta;
c) o mesmo que b), mas sem usar o mesmo caminho?
68º.) Quantos números de 8 algarismos têm pelo menos um 7?
69º.) Quantos números podemos formar por multiplicação de um, alguns ou todos, com os dígitos: 2, 3, 4, 4, 5, 5 e 5? E se os números fossem: 2, 3, 4 e 5?
70º.) Com os algarismos: 1, 4, 5, 7, 8 e 0, quantos números podemos formar, tais que:
a) sejam de 4 algarismos distintos?
b) sejam de 4 algarismos distintos e divisíveis por 5?
c) sejam de 4 algarismos distintos, não divisíveis por 5 e no máximo com 4 dígitos?
71º.) Uma professora do pré tem 16 crianças, sendo 8 meninas. De quantas maneiras a professora pode organizar essas crianças:
a) em fila indiana para uma caminhada? (uma atrás da outra);
b) em roda para uma brincadeira?;
c) em fila indiana para uma caminhada, se pretende alternar meninos e meninas? e
d) em roda para uma brincadeira, se pretende alternar meninos e meninas?
72º.) Uma comissão é constituída de 2 grupos de 6 pessoas cada (total de 12 pessoas). Deve-se proceder a escolha de 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro e 2 secretários, dentre os membros da comissão, de modo que, o presidente e o vice-presidente, sejam provenientes de grupos distintos. De quantos modos pode se fazer tal escolha?
73º.) Ao arrecadar prendas numa sala, dentre outras, obteve-se: 20 pacotes de 1 kg de arroz, 20 pacotes de 1 kg de feijão, 15 pacotes de 1kg de açúcar e 5 pacotes de 1 kg de sal. Os organizadores resolveram montar sacolas de 3 kg de mantimento.
a) Quantas sacolas serão montadas?
b) Se os organizadores escolherem, ao acaso, os 3 pacotes de 1 kg, dentre os 60 recolhidos, quantos tipos de sacolas seriam possíveis de ser montadas?
74º.) A partir da palavra PARANAPIACABA,
a) Quantos anagramas existem?;
b) Quantos começam por R? ;
c) Quantos terminam por P? e
d) Considerando as letras, sem as repetições, isto é, P, A, R, N, I, C e B, de quantas formas podemos selecionar 3 ou mais letras, de modo que o anagrama obtido tenha consoantes e vogais alternadas?
75º.) 7 estudantes devem ser alojados em 3 quartos de uma residência universitária; 2 dos quartos têm acomodações para 2 estudantes e o outro, para 3. De quantos modos pode-se acomodá-los?
76º.) Um homem vai a um restaurante com a intenção de pedir uma entrada, um prato de carne, um acompanhamento e uma sobremesa. Se o restaurante oferece no cardápio 6 entradas, 10 pratos com carne, 9 acompanhamentos e 6 sobremesas, de quantos modos poderá compor seu pedido?
77º.) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não o é). Qual o número de senhas válidas?
78º.) A unidade de informação nos computadores é o bit, que pode estar em dois estados identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma sequência de bits, podem ser criados código capazes de representar números, caracteres, figuras, tec. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma sequência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita. Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar?
79º.) Anagramas da palavra CAPÍTULO:
a) Que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
b) Que Têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
c) Que têm vogais e as consoantes intercaladas?
d) Que têm a letra C no 1º. Lugar e a letra A no 2º. Lugar?
e) Que têm a letra C no 1º. Lugar ou a letra A no 2º. Lugar?
80º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?
81º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?
82º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?
83º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com algarismos distintos existem entre 600 e 1000?
84º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?
85º.) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que lugar ocupa o número 68412?
86º.) Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?
87º.) Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
88º.) Com relação a palavra TEORIA:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por T?
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas tem as vogais juntas?
89º.) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoantes?
90º.) Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos?
91º.) De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
92º.) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?
93º) Quantos números pares de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8 e 9?
94º.) Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
95º.) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os 7 existentes. De quantas formas isto pode ser feito?
96º.) Obter todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, 0} tomados dois a dois.
97º.) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
98º.) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
99º.) Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?
100º.) De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam os 4 ases?
101º.) Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
102º) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 Matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que:
a) Nenhum membro seja matemático?
b) Todos os matemáticos participem da comissão?
c) Haja exatamente um matemático na comissão?
d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
domingo, 27 de fevereiro de 2011
Análise Combinatória
Discutindo as possíveis resoluções de uma determinada Situação Problema:
Assunto: Análise Combinatória
1º.) 5(fixo) 8.7.6 = 336
Observações:
• O 5 é um número fixo, pois todos os números devem começar por ele;
• Devemos pensar que temos 9 algarismos para utilizar nos quatro primeiros dígitos e já utilizamos 1, temos então agora 8, depois 7 e depois 6, para serem utilizados, pois todos devem ser distintos.
9.8.7.6 = 3024
• Os 4 próximos dígitos são todos distintos, logo devemos ter o produto de todos eles.
• Portanto podemos formar: 336 . 3024 = 1016064 números de telefone.
O que você professor pensa sobre discutirmos a resolução destas Situações Problemas antes do início do Módulo sobre este Assunto/Conteúdo?
luciocarnauba@ibest.com.br
Assunto: Análise Combinatória
1º.) 5(fixo) 8.7.6 = 336
Observações:
• O 5 é um número fixo, pois todos os números devem começar por ele;
• Devemos pensar que temos 9 algarismos para utilizar nos quatro primeiros dígitos e já utilizamos 1, temos então agora 8, depois 7 e depois 6, para serem utilizados, pois todos devem ser distintos.
9.8.7.6 = 3024
• Os 4 próximos dígitos são todos distintos, logo devemos ter o produto de todos eles.
• Portanto podemos formar: 336 . 3024 = 1016064 números de telefone.
O que você professor pensa sobre discutirmos a resolução destas Situações Problemas antes do início do Módulo sobre este Assunto/Conteúdo?
luciocarnauba@ibest.com.br
sábado, 26 de fevereiro de 2011
Ângulos Internos
Polígonos | Número de Lados | Número de Triângulos | Soma dos Ângulos Internos |
Triângulo | 3 | 1 | 1.180º = 180º |
Quadrilátero | 4 | 2 | 2.180º = 360º |
Pentágono | 5 | 3 | 3.180º = 540º |
Hexágono | 6 | 4 | 4.180º = 720º |
... | ... | ... | ... |
Polígono de n Lados | n | n - 2 | (n – 2).180º |
Ao Professor:
· Determinar a fórmula que permite encontrar a SOMA DOS ÃNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO qualquer.
· Propor aos alunos que representem polígonos de três, quatro, cinco e seis lados.
· Peça que eles marquem os Vértices com letras maiúsculas do nosso alfabeto em cada Polígono.
· Explique o conceito de Diagonal de um Polígono, segmento de reta que une dois pontos não consecutivos.
· Peça que eles observem Polígono a Polígono quantas diagonais é possível traçar, sempre partindo de um mesmo Vértice.
· O que observar Polígono a Polígono interferindo sempre que possível para que os alunos acompanhem e desenvolvam o seu raciocínio:
· a) Os Triângulos internos aumentam sempre de um em um?
· b) Se chamamos n de números de lados, o número de Triângulos é quantas vezes menos esse n?
· c) Se existe uma definição matemática, conhecida por Teorema do Ângulo Interno de um Triângulo que diz : “A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º ”. Devemos explicar para nossos alunos através da história da matemática ou mesmo através de uma construção Euclidiana, somente com régua e compasso como fazê-lo.
· Deixar claro aos alunos que existe uma condição de existência para que três segmentos determinem um triângulo.
Obs: Caderno do Aluno – Volume 2 – 2009 – 7º. Série - Página 44 e 45.
Lúcio Mauro Carnaúba – PCOP de Matemática do E.F. II
Bandeira Nacional
Resolução de Problemas 2
Título: “Construindo o Esboço da Nossa Bandeira com os Alunos”
Séries: 5º., 6º., 7º. e 8º.
Material Utilizado: Inicialmente a dinâmica proposta envolve apenas os alunos e a sua expressão corporal e ter em mãos transcrito as seções da Lei no. 5443, de 28 de maio de 1968, que dizem respeito ao pavilhão nacional – Capítulo II – Seção II – Da Bandeira Nacional.
Conteúdos trabalhados: Múltiplos de um número, conjuntos, medidas não padronizadas e formas geométricas planas.
Ao Professor: Devemos nos ater nesta atividade ao Art.5º. – A feitura da Bandeira Nacional obedecerá às seguintes regras (Anexo no. 2):
Incisos I a V, do inciso VI a VIII (2º. Parte da Atividade a ser realizada no interior da sala de aula)
Local da realização da 1º. Parte desta Atividade: Na quadra da Unidade Escolar
Ao Professor: Levar os alunos a quadra e iniciar a atividade propondo aos participantes formar grupos, onde cada grupo deverá fazer a representação dos lados paralelos do retângulo, dois a dois, dos quatro pontos médios para demarcar os vértices do losango e do círculo.
· Grupo I - Forma geométrica - Retângulo - Observar o que esta escrito no inciso I e II - Iremos a partir desta leitura dividir parte deste grupo para representar a largura e a outra parte para representar o comprimento. Por exemplo: a largura corresponde a 14 módulos, ou seja, 14 partes iguais, devemos então pedir que 14 alunos fiquem posicionados nas laterais da quadra espaçados um do outro e o comprimento corresponde a 20 módulos, ou seja, 20 partes iguais, podemos assim pedir que 20 alunos fiquem posicionados nas outras duas laterais da quadra. Nós professores devemos explicar aos alunos que esse espaçamento entre eles pode ser feito no papel com régua, quando utilizamos a medida mm (milímetro) ou cm (centímetro) em acordo com o S.I. (Sistema Internacional). Pode-se também construí-la em medidas maiores como m (metro) ou mesmo km (quilômetro).
· Grupo II – 4 alunos – Representar os Pontos Médios dos lados paralelos do Retângulo e os 4 vértices do Losango - Observar o inciso III – Devemos pensar numa estratégia para representar 1,7 módulos a partir do Ponto Médio, propor para o grupo uma possível solução. (Questão Aberta)
· Grupo III – Forma Geométrica – Círculo – Observar o inciso IV – Iremos propor aos outros alunos marcar pontos de um círculo, ou seja, do seu contorno. Para determinarmos aproximadamente o centro do Losango podemos propor que 4 alunos caminhem a partir dos 4 vértices simultaneamente até se encontrarem, então eles devem novamente a partir deste ponto andar 3, 5 módulos.
Quais são as outras disciplinas que podemos envolver nesta Atividade:
· Educação Física: para auxiliar na organização e posicionamento dos alunos.
· História: Propor aos alunos pesquisarem esta lei supra citada, na Internet ou mesmo em Enciclopédias.
· Geografia: Propor aos alunos pesquisarem o posicionamento das estrelas em nossa Bandeira e os seus respectivos Estados.
· Arte e Matemática: Propor a construção da nossa Bandeira com régua e compasso segundo a Lei 5443.
Objetivos Gerais: Ensinar aos nossos alunos valores, medidas não padronizadas e medidas padrões, geometria plana com construções Euclidianas, noções de conjunto e múltiplos de um número.
Observação: Nós professores devemos prestar atenção quando a distribuição do Grupo I, porque o número de alunos pode ser múltiplo de 20 e múltiplo de 14 respectivamente, M(20) = 1, 2, 4, 5, 10 e 20 e M(14) = 1, 2, 7 e 14. A quantidade de alunos que irá determinar esta distribuição.
Abaixo parte desta Lei supra citada:
Art. 5º. A feitura da Bandeira Nacional obedecerá às seguintes regras (Anexo no. 2):
I – Para cálculo das dimensões, tomar-se-á por base a largura desejada, dividindo-a esta em 14 (quatorze) partes iguais. Cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo.
II – O comprimento será de vinte módulos (20 M).
III – A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 módulos).
IV – O círculo azul no meio do losango amarelo terá o raio de três módulos e meio (3,5 M).
2º. Parte desta Atividade
Construção da nossa Bandeira com régua e compasso obedecendo aos incisos anteriores e mais os incisos V, VI, VII e VIII.
Disciplinas que podem também atuar juntas nesta segunda proposta: Matemática, Artes, Geografia e História.
V – O centro dos arcos da faixa branca estará dois módulos (2 M) à esquerda do ponto de encontro do prolongamento do diâmetro vertical do círculo com base do quadro externo.
VI – O raio do arco inferior da faixa branca será de oito módulos (8 M); o raio do arco superior da faixa branca será de oito módulos e meio (8,5 M).
VII – A largura da faixa branca será de meio módulo (0,5 M).
Continuar a pesquisa até o inciso XI.
Observação: O professor deve observar as atualizações referentes a esta Lei na Internet e a distribuição de alunos na quadra pode ser redefina de acordo com o número de alunos em sala de aula.
Frações e o Tangran
Resolução de Problemas
Título: “As Frações, a Geometria e o Tangran”
Séries: 5º., 6º., 7º. e 8º. série
Material Utilizado: Papel espelho cortado na forma de um quadrado para ser utilizado como dobradura e lápis para anotações.
Conteúdos trabalhados: Geometria Plana: identificação e classificação de Polígonos e identificação das partes todo de uma fração.
Ao Professor:
· Ensinar aos alunos com uma linguagem bem simples todos os passos para realizar a dobradura das 7 peças do Tangran;
· Argumentar com os alunos os respectivos nomes (classificação) dos polígonos observados a cada passo da dobradura;
· Propor diversas composições diferentes de polígonos.
Definição de Polígono:
- “Um polígono é uma figura formada pela junção de segmentos de reta, extremidade a extremidade”. (MOISE – 1964);
- “Polígono pode indicar tanto a região por ele delimitada quanto o seu contorno”. (Paulo Cezar Pinto Carvalho).
Situações problema em Matemática que podemos propor aos nossos alunos:
a) Os dois triângulos maiores podem ser classificados segundo seus respectivos ângulos retos (90º), como?
b) Os dois triângulos maiores podem ser classificados segundo seus lados, como?
c) Estas classificações quanto aos lados e ângulos é análoga para os dois triângulos menores?
d) Podemos dizer que tanto os dois triângulos maiores quanto os dois triângulos menores são congruentes se comparados com seus pares segundo a ordem da construção deste tangran?
e) O triângulo médio tem um dos seus ângulos reto (90º)?
f) O triângulo médio é chamado de triângulo isósceles?
g) Apresente as duas propriedades do quadrado que o definem como tal polígono?
h) Existe um outro polígono que apresenta as mesmas propriedades do quadrado?
i) O que diferencia como propriedade estes dois polígonos em questão?
j) A 7º. figura geométrica é conhecida como trapézio ou paralelogramo?
k) Aponte se há diferença(s) entre esses dois polígonos?
Observação: É possível trabalhar com equivalência de Frações.
Ao Professor:
Passos para construção do Tangran de sete peças:
- Didaticamente podemos subtrair um quadrado de um retângulo ou mesmo iniciar a dobradura a partir do quadrado;
- O primeiro passo desta dobradura é dobrar o quadrado ao meio, vincando a sua diagonal principal;
- Repete-se a mesma dobra marcando a sua diagonal secundária;
- Iremos marcar o Baricentro deste quadrado com um ponto e traçar somente a diagonal principal;
- Devemos então a partir do Baricentro (Quadrado) ou Ponto Médio (Segmento) traçar um segmento que corresponde a metade da diagonal, iremos observar que temos dois triângulos congruentes e semelhantes, e também isósceles e retângulo, que são as duas primeiras das sete peças do Tangran;
- Devemos levar o vértice oposto ao vértice de onde foram marcadas as duas primeiras peças ao ponto central do Quadrado (Baricentro) e vincar, obtendo assim um terceiro triângulo que será a 3º. peça deste Tangran;
- Devemos em seguida levar o vértice que está no mesmo lado do vértice utilizado para marcar a 3º. Peça do Tangran e vincar obtendo por dobradura um Triângulo Retângulo e um Quadrado, respectivamente a 4º. e 5º. Peça do Tangran;
- Por último devemos marcar um ponto no vértice do Triângulo (3º. Peça), ponto este marcado no ângulo correspondente de 45º e oposto ao lado que foi marcado a 4º. e 5º. Peça e assim levar este ponto sobre o Baricentro e observarmos a 6º. e 7º. Peça, o Triângulo Retângulo e o Paralelogramo.
Situações problema que podemos propor para explicar o conteúdo Frações a partir da dobradura do Tangran:
a) A figura ou forma geométrica Quadrada é o nosso todo ou inteiro?
b) Por dobradura obtemos dois Triângulos Retângulos, estes correspondem a qual fração do inteiro?
c) Utilizando um dos triângulos pequenos como medida ou comparação podemos triangular todas as cinco peças que estão na outra metade do Tangran. Qual é analogamente a quantidade de triângulos que forma o todo?
d) Analogamente qual é a fração correspondente ao quadrado, ao paralelogramo e ao triângulo médio?
e) Ao adicionarmos todas as partes do todo devemos obter um inteiro?
Situações problema que podemos propor para compor polígonos com as sete peças do Tangran:
a) Montar um quadro como sugerido no “E.M.” da 6º. Série e compor polígonos a partir de 2 peças do Tangran?
b) Classificar os polígonos segundo suas propriedades? Pesquisar.
Observação: É interessante trabalhar esta atividade em grupo.
Objetivos Gerais: Explorar a construção de Polígonos a partir da dobradura de um Quadrado, classificar Polígonos segundo seus lados, ângulos e propriedades especificas e observar as frações a partir das partes de um todo.
Bibliografia Oficial sugerida: Experiências Matemáticas da 6º. Série, São Paulo: SE/CENP, 1988 – páginas: 209 e 210.
Contato na Oficina Pedagógica: Lúcio Mauro Carnaúba – PCOP do Ensino Fundamental II – e-mail: luciocarnauba@ibest.com.br
Observação dos E.M.: Com 2 peças não podemos compor retângulos, podemos compor quadrados com 4 peças, não podemos compor quadrados com 6 peças, não podemos compor triângulos com 6 peças e podemos compor paralelogramos com 6 peças.
Assinar:
Postagens (Atom)