Relação de Euler

Relação de Euler

A) Prismas

Base do Prisma	Representação	Número de Vértices	Número de Faces	Número de Arestas
Triangular		6	5	9
Retangular		8	6	12
Pentagonal		10	7	15
Hexagonal		12	8	18
...	...	...	...	...
n	*	2.n	n + 2	3.n

• A representação pode ser feita no quadro negro pelo professor *.
• n é o número de Vértices da Face do Prisma, que observamos frontalmente.
• Podemos então concluir que o número de Vértices nas duas Faces, são o dobro de n. 
• Quanto as Faces contamos as Faces Paralelas e pensando na Planificação contamos as outras Faces, logo temos n + 2 em relação a Face observada.  
• Quanto as Arestas observamos o triplo de n, ou seja, 3.n.   

B) Pirâmides

Base da Pirâmide	Representação	Número de Vértices	Número de Faces	Número de Arestas
Triangular		4	4	6
Retangular		5	5	8
Pentagonal		6	6	10
Hexagonal		7	7	12
...		...	...	...
n**	*	n + 1	n + 1	n + n ou 2.n

• O professor deve fazê-la no quadro negro pensando sempre que a representação de uma Pirâmide exige que seja pontilhado as Arestas que aparecem no fundo do esboço*.
• n é o número de Arestas que parte de cada Vértice**.
• Podemos observar a Relação de Euler tanto para os Prismas como para as Pirâmides. Façamos por analogia: Prisma de base Triangular, 6 Vértices  + 5 Faces  =  9 Arestas + 2, portanto 11 = 11.
• Pirâmide de base Triangular, 4 Vértices + 4 Faces = 6 Arestas + 2, portanto 8 = 8.
• V + F – 2 = A. 
• Devemos pensar quais destas duas proposições são válidas para Relação de Euler.  
• Para os sólidos de Platão também é válida a Relação de Euler?
• Quem foi Leohard Euler? 
• O Hexaedro, o Tetraedro, o Dodecaedro, o Icosaedro e o Octaedro são conhecidos por sólidos de Platão?
• Quantas Faces, Vértices e Arestas têm respectivamente os sólidos de Platão?

PCOP de Matemática do E.F. II – Lúcio Mauro Carnaúba     

luciocarnauba@ibest.com.br

Podemos juntamente com os alunos construir estes sólidos geométricos com látex, fazendo conectores que representam os vértices e varetas de palito de churrasco que representam as Arestas. As faces podem ou não serem confeccionadas com papel ou outro material qualquer.

Sugestão encontrada nos E.M. – Experiências matemáticas – CENP/SEESP.

Há também uma sugestão de construção de Triângulos Eqüiláteros no Para-didático do autor: “Imenes”, com conectores feitos de papel sulfite, que permitem construir Tetraedros, Octaedros e outros sólidos geométricos.