Análise Combinatória
1º.) Considerando os números de telefone com 4 dígitos que representam os centros telefônicos e outros 4 que representam as linhas de um mesmo centro, quantos números de telefone podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, tais que os 4 dígitos de cada grupo são distintos e os números de telefone comecem por 5?
2º.) Uma fila de 8 carteiras é reservada pelo professor para os alunos que chegarem atrasados. Sabendo-se que apenas 3 alunos chegaram atrasados num determinado dia, qual o total de possibilidades destes alunos se acomodarem em carteiras especificadas?
3º.) Sabe-se que: An,,3 = 3.(n-1), com n ≥ 3. Determine o valor de n.
4º.) Num campeonato de futebol, temos 8 participantes. Se queremos, num primeiro turno, que todos joguem com todos (em campo neutro), quantos jogos são necessários?
5º) Quantos números ímpares, compreendidos entre 2000 e 7000, podemos formar com os algarismos: 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que os algarismos sejam todos distintos?
6º) São desenhadas duas retas paralelas. Numa delas são demarcados 5 pontos e na outra 9. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se pontos dentre ao que foram definidos nas duas retas?
7º.) Considerando os anagramas que podem ser formados a partir da palavra PERNAMBUCO.
a) Quantos começam com NA?
b) Quantos começam com NA e terminam com PE?
c) Quantos terminam com PE?
d) Quantos começam com NA ou terminam com PE?
e) Quantos têm as letras PENA juntas?
f) Quantos têm as letras PENA juntas e nessa ordem?
8º.) Um trem é constituído de uma locomotiva e 10 vagões diferentes, sendo um deles restaurante. De quantas maneiras podemos compor tal trem se, a locomotiva deve vir à frente e o restaurante não pode vir imediatamente após a locomotiva?
9º.) Determinar x e y tais que: Cx,y-1/2 = Cx,y/3 = Cx, y+1/4
10º.) Com 8 consoantes distintas e as 5 vogais, quantos anagramas podemos formar?
11º) Quantos anagramas da palavra PARANAPIACABA podem ser formados?
12º.) Um estudante resolveu organizar seus livros na estante de modo que a mesma disciplina fiquem juntas. Quantos são os modos possíveis de fazê-lo se ele tem 5 livros de matemática, 3 de física, 4 de português, 2 de história, 2 de geografia e 1 de inglês?
13º.) A diretora de uma firma é constituída por 4 diretores e 15 gerentes. Quantas comissões com 4 membros podem ser formados de modo que:
A) Tenha exatamente um diretor?
B) Tenha ao menos um diretor?
14º.) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos pontos marcados?
15º.) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
16º.) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?
17º.) De um grupo de 4 pessoas, de quantas maneiras pode se convidar uma ou mais para jantar?
18º.) Num avião de 9 lugares, viajam 9 pessoas, das quais 3 têm condições de operar como piloto ou copiloto. De quantas maneiras essas pessoas podem se distribuir no avião?
19º.) Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade para 5 doces dada uma. Sabendo-se que ele fabrica 12 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens, com 5 doces diferentes, ele poderá oferecer?
20º.) Um feirante possui, em sua banca, maças, peras e pêssegos em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas de modo que cada pacote contivesse exatamente 4 frutas. Quantas tipos de pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela?
21º.) Sejam x e y números naturais maiores que 1 e tais que:
{ Ax+y, 2 = 56 e { Cx-y, = 1
Qual o valor de x.y?
22º.) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 são pretas?
23º.) Num jogo de dardos, o alvo é uma circunferência que se mantém girando durante o jogo. Existem 15 pontos eqüidistantes marcados nessa circunferência e, a cada um deles, corresponde um valor distinto dos demais. De quantas maneiras podemos distribuir esses valores na circunferência?
24º.) Considere todos os números naturais de 4 algarismos do nosso sistema de numeração. Quantos destes números apresentam o algarismo 3 pelo menos uma vez?
25º.) Quantos resultados diferentes podem ocorrer no sorteio da LOTO? ( Observação: considere que no jogo da LOTO são sorteados 5 números distintos entre 00 e 99).
26º.) Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas juntas diferentes podemos formar, de modo que, entre os integrantes, haja:
a) 3 cardiologistas e 2 pediatras?
b) No mínimo um pediatra?
c) No máximo um pediatra?
27º.) Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos têm fortes diferenças pessoais. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convidados, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?
28º.) De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível formar, de modo que entre elas haja:
a) Exatamente um ás?
b) Pelo menos um ás?
c) Exatamente duas figuras?
d) Pelo menos duas figuras?
e) No máximo duas figuras?
29º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados de modo que os dois primeiros dígitos sejam diferentes de zero ou o segundo e o terceiro dígitos sejam diferentes de zero?
30º.) Se lançarmos um dado duas vezes seguidas, quantas são as possibilidades de obtermos:
a) Soma 7?
b) Soma 10?
c) Soma 15
31º.) Determine quantas peças há num jogo de dominó, lembrando que cada peça é formada por dois quadrados que representam números naturais de 0 a 6.
32º.) Se jogarmos sobre uma mesa um dado e uma moeda, quantas serão os resultados possíveis?
33º.) Quantos anagramas podemos obter a partir da palavra SOMAR?
34º.) Quantas sequências diferentes podemos obter retirando duas cartas – uma de cada vez – de um baralho que tem 52 cartas , sem repor as já retiradas?
35º.) Quantos números naturais de quatro algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 5 e 6?
36º.) Num carro, vão viajar oito passageiros e o motorista. Quantos lugares distintos os oito passageiros podem ocupar no veículo?
37º.) Entre os seis vereadores de um partido, três serão escolhidos para representá-lo numa convenção nacional. Quantas possibilidades de escolha existem?
38º.) Lúcia jogou um dado três vezes seguidas. Quantos resultados diferentes ela poderá ter obtido?
39º.) Uma urna contém cinco bolas: uma azul, uma vermelha, uma preta, uma amarela e uma verde. Quantas são as possibilidades de se retirar 3 bolas sem reposição?
40º.) Uma placa de automóvel é formada por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos dez algarismos do sistema decimal?
41º.) Cinco amigos vão viajar num carro de cinco lugares. Descubra quantas possibilidades diferentes de acomodação existem, considerando que todos sabem dirigir?
42º.) Uma agência de propaganda vai criar o nome de um novo produto, fazendo um anagrama da palavra BONECA. Sabendo que a sílaba NE terá que aparecer, descubra quantos anagramas são possíveis.
43º.) Uma prova é constituída por dez testes do tipo “verdadeiro ou falso”. De quantas maneiras diferentes um candidato poderá responder aos dez testes, não deixando nenhum sem resposta e assinalando apenas uma alternativa em cada um?
44º.) Quantos anagramas da palavra BARRAR começam com R?
45º.) Quantos números de telefone de seis dígitos podem ser formados com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos?
46º.) Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos: 1, 3, 4, 5, 6 e 8 de modo que o algarismo das unidades seja menor que quatro ou o algarismo das dezenas seja par?
47º.) Qual é o total de múltiplos positivos de 5, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6?
48º.) Sabendo-se que o segredo de um cofre é uma sequência de quatro algarismos distintos e que o primeiro algarismo é o triplo do segundo, qual é o maior número de tentativas diferentes que podemos fazer para conseguir abri-lo?
49º.) De quantos modos podemos dispor cinco meninas e quatro meninos em fila indiana de modo que crianças de mesmo sexo não fiquem juntas?
50º.) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados por: 3, 4, 5, 6 e 7 que não sejam múltiplos de 5?
51º.) Qual é o número de anagramas da palavra VOLUME que apresentam a letra V antes da letra L?
52º.) Obter o número de anagramas da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantêm nas respectivas posições.
53º.) Quantos anagramas tem a palavra RETRATAR?
54º.) Lançando-se uma moeda seis vezes, quantas sequências diferentes de resultados apresentam quatro caras e duas coroas?
55º.) Quantos subconjuntos de três elementos possui um conjunto de cinco elementos?
56º.) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze, dois são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos?
57º.) Numa pista circular será disputada uma prova de atletismo. Cinco juízes serão colocados em cinco pontos distintos dessa pista. Quantas são as possíveis disposições para esses juízes?
58º.) Uma roleta é dividida em 6 setores. Em cada setor será colocado um dos números: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, em qualquer disposição. Em quantas posições diferentes podem ser distribuídas esses números?
59º.) Algumas pérolas artificiais, de cores diferentes entre si, formarão um colar sem fecho. Se com essas pérolas o poder ser feito de 5040 maneiras diferentes, calcule o número de pérolas.
60º.) Determine o número de anagramas da palavra VIOLINO.
61º.) De quantas maneiras podemos distribuir 4 bolas brancas e 3 pretas em 9 orifícios, sabendo-se que cada orifício só cabe uma bolinha?
62º.) Em quantos anagramas da palavra DIÁSTOLE, nem D e I, nem L e E estão juntos?
63º.) Estando numa esquina, um homem deseja caminhar até a outra esquina, que dista 4 quarteirões na direção norte e 5 na direção oeste, onde ele está. De quantos modos poderá caminhar até o destino desejado, se só poderá andar na direção oeste ou norte?
64º.) Dispondo dos algarismos 0, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 4 algarismos, divisíveis por 2 e inferiores a 5000 podemos formar, tendo ao menos um dígito repetido?
65º.) De quantas maneiras podemos, num quadriculado 4 x 4, dispor 4 fichas, sendo que, em cada linha e em cada coluna, só deverá existir uma única ficha?
a) Fichas idênticas;
b) Fichas distintas;
c) Fichas brancas e 2 pretas;
66º.) Quantos divisores possui o número 720?
67º.) Existem 4 caminhos que levam de A à B e 3 caminhos que levam de B à C. De quantos modos diferentes pode-se ir:
a) de A à C passando por B?;
b) de A à C e voltando à A, passando por B na ida e na volta;
c) o mesmo que b), mas sem usar o mesmo caminho?
68º.) Quantos números de 8 algarismos têm pelo menos um 7?
69º.) Quantos números podemos formar por multiplicação de um, alguns ou todos, com os dígitos: 2, 3, 4, 4, 5, 5 e 5? E se os números fossem: 2, 3, 4 e 5?
70º.) Com os algarismos: 1, 4, 5, 7, 8 e 0, quantos números podemos formar, tais que:
a) sejam de 4 algarismos distintos?
b) sejam de 4 algarismos distintos e divisíveis por 5?
c) sejam de 4 algarismos distintos, não divisíveis por 5 e no máximo com 4 dígitos?
71º.) Uma professora do pré tem 16 crianças, sendo 8 meninas. De quantas maneiras a professora pode organizar essas crianças:
a) em fila indiana para uma caminhada? (uma atrás da outra);
b) em roda para uma brincadeira?;
c) em fila indiana para uma caminhada, se pretende alternar meninos e meninas? e
d) em roda para uma brincadeira, se pretende alternar meninos e meninas?
72º.) Uma comissão é constituída de 2 grupos de 6 pessoas cada (total de 12 pessoas). Deve-se proceder a escolha de 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro e 2 secretários, dentre os membros da comissão, de modo que, o presidente e o vice-presidente, sejam provenientes de grupos distintos. De quantos modos pode se fazer tal escolha?
73º.) Ao arrecadar prendas numa sala, dentre outras, obteve-se: 20 pacotes de 1 kg de arroz, 20 pacotes de 1 kg de feijão, 15 pacotes de 1kg de açúcar e 5 pacotes de 1 kg de sal. Os organizadores resolveram montar sacolas de 3 kg de mantimento.
a) Quantas sacolas serão montadas?
b) Se os organizadores escolherem, ao acaso, os 3 pacotes de 1 kg, dentre os 60 recolhidos, quantos tipos de sacolas seriam possíveis de ser montadas?
74º.) A partir da palavra PARANAPIACABA,
a) Quantos anagramas existem?;
b) Quantos começam por R? ;
c) Quantos terminam por P? e
d) Considerando as letras, sem as repetições, isto é, P, A, R, N, I, C e B, de quantas formas podemos selecionar 3 ou mais letras, de modo que o anagrama obtido tenha consoantes e vogais alternadas?
75º.) 7 estudantes devem ser alojados em 3 quartos de uma residência universitária; 2 dos quartos têm acomodações para 2 estudantes e o outro, para 3. De quantos modos pode-se acomodá-los?
76º.) Um homem vai a um restaurante com a intenção de pedir uma entrada, um prato de carne, um acompanhamento e uma sobremesa. Se o restaurante oferece no cardápio 6 entradas, 10 pratos com carne, 9 acompanhamentos e 6 sobremesas, de quantos modos poderá compor seu pedido?
77º.) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas (assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não o é). Qual o número de senhas válidas?
78º.) A unidade de informação nos computadores é o bit, que pode estar em dois estados identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma sequência de bits, podem ser criados código capazes de representar números, caracteres, figuras, tec. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma sequência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita. Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar?
79º.) Anagramas da palavra CAPÍTULO:
a) Que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
b) Que Têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
c) Que têm vogais e as consoantes intercaladas?
d) Que têm a letra C no 1º. Lugar e a letra A no 2º. Lugar?
e) Que têm a letra C no 1º. Lugar ou a letra A no 2º. Lugar?
80º.) Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?
81º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 3 dígitos distintos podemos formar?
82º.) Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos números pares de 4 dígitos distintos podemos formar?
83º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com algarismos distintos existem entre 600 e 1000?
84º.) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números distintos podemos formar?
85º.) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que lugar ocupa o número 68412?
86º.) Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?
87º.) Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
88º.) Com relação a palavra TEORIA:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por T?
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas tem as vogais juntas?
89º.) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoantes?
90º.) Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos?
91º.) De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
92º.) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?
93º) Quantos números pares de algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8 e 9?
94º.) Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
95º.) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os 7 existentes. De quantas formas isto pode ser feito?
96º.) Obter todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, 0} tomados dois a dois.
97º.) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
98º.) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
99º.) Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?
100º.) De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam os 4 ases?
101º.) Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
102º) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 Matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que:
a) Nenhum membro seja matemático?
b) Todos os matemáticos participem da comissão?
c) Haja exatamente um matemático na comissão?
d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
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