Trigonometria

terça-feira, 3 de maio de 2011

Trigonometria

TRIGONOMETRIA e GEOMETRIA

Situações de Aprendizagem

Situações de Aprendizagem 1

A geometria dos ângulos

Tempo previsto: 3 semanas

Conteúdos e temas: estimativa, construção e medição de ângulos; desenho geométrico (paralelas, bissetriz, polígonos, ângulos); extensão do vocabulário geométrico.

Competências e habilidades: reconhecer e estimar medidas angulares com contextos e formas de linguagem diversificadas; estabelecer comparações e classificações como processo para a aquisição de vocabulário geométrico; utilizar a lógica de pensamento estruturado para resolver problemas de natureza geométrica; desenvolver a motricidade fina por meio de instrumentos geométricos de desenho, bem como o pensamento antecipatório nos processos de resolução de problemas.

Estratégias: resolução de situações-problema com instrumentos geométricos e com raciocínio dedutivo; proposição de jogos.

“Formalmente chamamos de ângulo a figura formada por duas semiretas com mesma origem. A ideia de ângulo associada a um giro pode ser o ponto de partida do trabalho, nesse caso, falaríamos em ½ giro, ¼ giro, ¾ giro, etc. “

ENSINO FUNDAMENTAl II

“Em suas pesquisas Piaget e seus seguidores estudaram o desenvolvimento do conceito de ângulo em crianças. Esses estudos mostram dois pontos importantes para o trabalho com este tema na escola básica:

O conceito de ângulo leva um longo tempo para ser compreendido.
Uma visão estática de ângulos (segmentos de retas em um pedaço de papel) dificulta para os alunos a percepção do conceito de ângulo.

Segundo as pesquisas do casal Van Hiele sobre aprendizagem de geometria, um outro aspecto a ser levado em conta no trabalho com ângulos é o seguinte: os alunos progridem em sua aprendizagem de geometria através de diferentes níveis de entendimento sobre figuras geométricas. Inicialmente percebem uma figura como um todo e, progressivamente, desenvolvem suas relações e propriedades.

Desta forma, primeiro os alunos percebem o ângulo holisticamente. Isto é, quando eles começam a reconhecer ângulos podem notar que um triângulo tem sempre três ângulos, ou cantos, mas eles não identificam uma propriedade particular desses ângulos.

Mais tarde eles entendem que a medida de um ângulo pode ser menor ou maior que a medida de um ângulo reto e identificam propriedades e relações entre ângulos. O próximo passo de desenvolvimento é operar com tais relações em situações como: “um triângulo não pode ter mais que um ângulo obtuso porque os três lados devem formar uma figura fechada”.

Se um dos nossos objetivos no ensino de matemática é a construção de noções e conceitos, as propriedades acima descritas não devem aparecer como regras prontas, mas devem vir de trabalhos com ângulos e polígonos.

Tomando estas últimas considerações acrescentamos um terceiro aspecto relevante no ensino do conceito de ângulos:

Os alunos necessitam de atividades projetadas especialmente para auxiliá-los a explorar ângulos, suas propriedades e relações”.

Comentários: Utilizar os recurso das malhas e quadriculados para desenvolver uma sequência de atividades com atividades que desenvolva o conceito de ângulos. Formalizar o conceito de polígonos, medir (comparar) ângulos, dobradura dos ângulos notáveis, conceito de grau, o transferidor (dobradura) e propriedades de ângulos em triângulos e polígonos.

Atividades:

1º.) inicie a execução do programa pelo ponto assinalado no quadriculado:






→

Ande 5 lados de quadradinho;
Gire 1/8 de volta para a esquerda;
Ande 3 diagonais de quadradinhos;
Gire 3/8 de volta para esquerda;
Ande 5 lados de quadradinho;
Gire 1/8 de volta para a esquerda e
Ande 3 diagonais de quadradinhos.

Comentários sobre esta atividade: estas atividades que utilizam as malhas são indicadas para explorar outras frações do giro completo como por exemplo, 1/8, 1/6 e 1/12 de volta, o que mais tarde corresponderá a 45°, 60° e 30° respectivamente. São atividades que permitem com simetria, área, perímetro, noções de ampliação e redução de figuras.

Fonte: “O conceito de ângulo e o ensino de geometria”

Maria Ignez de Souza Vieira Diniz e Kátia Cristina Stocco Smole

IME-USP

Algumas Atividades retiradas deste livro:

· “Leia o programa abaixo, vá desenhando no quadriculado segundo os comandos indicados e descubra uma figura. Inicie o traçado a partir do ponto assinalado”.

1^o.) Ande 3 lados de quadradinho;

2^o.) Gire ¼ de volta à direita;

3^o.) Repita os comandos 1 e 2 mais duas vezes e

4^o.) Ande 3 lados do quadradinho.

►

_ Que figura você obteve?

(Aguardar instruções do Professor para desenvolver a atividade abaixo)

- Escreva um programa para desenhar na malha um quadrado cujos lados sejam duas vezes maior que os lados do quadrado anterior.

- Observe os dois quadrados. Você consegue dizer em que eles são parecidos? Em que são diferentes?

- Conte o número de quadradinhos que estão dentro de cada um dos quadrados. O que você percebe?

- Ao professor: “Neste tipo de atividade é natural que apareçam diferentes interpretações para o texto que devem ser discutidas de modo a se estabelecer que “andar” significa “andar em linha reta”.

- Sugestão de Programa:

1^o.) Ande 5 lados de quadradinho;

2^o.) Gire ¼ de volta para a esquerda;

3^o.) Ande 5 lados de quadradinho;

4^o.) Gire ¼ de volta para a esquerda;

5^o.) Ande 2 lados de quadradinho;

6^o.) Gire ¼ de volta para a esquerda;

7^o.) Ande 3 lados de quadrinho;

8^o.) Gire ¼ de volta para a direita;

9^o.) Ande 3 lados de quadradinho;

10^o.) Gire ¼ de volta para a esquerda e

11^o) Ande 2 lados de quadradinho.

Observação: Executar este programa no papel quadriculado.

2º.) Desenhe com o compasso um círculo de, aproximadamente, 5 cm de diâmetro. Dobre o círculo ao meio, em quatro partes e em oito partes. Determine o grau correspondente em cada caso?

História da Matemática: No segundo e primeiro milênios antes de Cristo, floresceram na Mesopotâmia (a região entre os rios Tigre e Eufrates, o que hoje corresponde, grosseiramente, ao Iraque) várias civilizações conhecidas de um modo geral como civilização babilônia. Este povo realizou estudos ligados à astronomia e à álgebra elementar e possuía um sistema de numeração bastante desenvolvido cuja a base era sessenta. Dentre as heranças deixadas por essa civilização, encontramos a marcação das horas (1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos) e a mediação dos ângulos em graus. Com base nos seus estudos sobre movimentos de estrelas e planetas e por causa do seu sistema de numeração, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes recebeu, mais tarde, o nome de um grau. O grau tem sido uma das unidades utilizadas para expressar a medida de ângulos ao longo de muito tempo.

Didática da Matemática: Conhecer o processo histórico que gerou o conhecimento é uma forma de compreensão e, além disso, dá significação social ao fato, mostrando o homem como agente da sua cultura, mostrando a cultura como um fato social. A contextualização histórica (vertical) responde à pergunta: “Mestre, de onde veio isso?”.

Caderno do Professor de Matemática – Ensino Fundamental II – 3º. Bimestre – 2008

Situação de Aprendizagem 3

Relações Métricas nos Triângulos Retângulos: Teorema de Pitágoras

Tempo previsto: 3 semanas

Conteúdos e temas: Teorema de Pitágoras; relações métricas nos triângulos retângulos.

Competências e habilidades: reconhecer a semelhança entre os triângulos, possível de identificar quando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é traçada; aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de um triângulo na resolução de situações-problema; aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de situações-problema.

Estratégias: resolução de série de problemas exemplares, elaborados com base em diferentes contextos.

Situação de Aprendizagem 4

Razões Trigonométricas dos ângulos agudos

Tempo previsto: 2 semanas

Conteúdos e Temas: razões trigonométricas de um ângulo agudo.

Competências e habilidades: determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo; utilizar a razão trigonométrica de um ângulo agudo na resolução de uma situação-problema; estimar a medida de ângulos de inclinação; efetuar medidas angulares com teodolito simplificado.

Estratégias: construção de teodolito simplificado; realização de medidas angulares usando teodolito simplificado e fita métrica

Ângulos de visada

Objetivo: reconhecer e medir ângulos (imaginários) usados na vida prática.

Se uma pessoa tem seu olho no ponto 0 e mira (visa) inicialmente um ponto A e depois um ponto B, as semi-retas OA e OB determinam o ângulo α indicado na figura a seguir. Esse ângulo é chamado de ângulo de visada ou, mais precisamente, é o ângulo sob o qual o segmento AB é visto de 0.

Com um transferidor de papelão e dois canudinhos de refresco podemos improvisar um aparelho razoável para medir ângulos de visada. O transferidor de papelão pode ser construído pelo aluno copiando a escala de um transferidor usual (de plástico). Um dos canudinhos será fixado, com dois alfinetes, na rede que passa pelo centro do transferidor de papelão e pela sua marca indicativa de 0°; o outro canudinho será móvel, podendo girar sobre esse transferidor em torno de uma de suas extremidades, presa com um alfinete no centro do transferidor. Com esse instrumento rudimentar mediremos ângulos de visada, fato esse que poderá ajudar o aluno na compreensão da Trigonometria.

A Tangente no Triângulo Retângulo

Objetivo: Conhecer o conceito de tangente de um ângulo agudo e aplicá-lo na resolução de problemas práticos.

A tangente tem uma maior aplicabilidade em problemas onde calculamos distâncias (“inacessíveis”) como a altura de um poste, de um edifício ou de um morro.

Comentários: pode-se fazer uma rápida revisão sobre semelhança de triângulos.

“Dois triângulos são semelhantes se tiverem os lados, respectivamente, proporcionais e os ângulos, respectivamente, congruentes”.

“Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que intercepta os outros dois lados, não pelos vértices, determina um triângulo semelhante ao primeiro”.

Atividades:

3º.) Façam uma figura com um ângulo α que mede aproximadamente 26,5°, onde os segmentos: OA’ = 3; OB’ = 5; OC’ = 7; OD’ = 8; A’A = 1,5; B’B = 2,5; C’C = 3,5 e D’D = 4.

A) Quais são os triângulos retângulos semelhantes?

B) Quais são as medidas dos três ângulos?

C) Quais são as razões iguais que comprovação a afirmação anterior?

D) Quais são as conclusões que podemos elaborar em relação a esses quatro triângulos?

4º.) Façam uma figura com um ângulo β que mede aproximadamente 71,5°, onde os segmentos: A’A = 3; B’B = 4,5; C’C = 6; AO’ = 1; OB’ = 1,5 e OC’ = 2.

A) Quais são os triângulos retângulos semelhantes?

B) Quais são as medidas dos três ângulos?

C) Quais são as razões iguais que comprovam a afirmação anterior?

D) Quais são as conclusões que podemos elaborar em relação a esses quatro triângulos?

Conclusões: após a realização destas duas atividades é possível perceber que a razão entre as medidas do cateto oposto a um ângulo e do cateto adjacente a ele não depende do fato de se escolher um triângulo retângulo com as medidas dos lados maiores ou menores: depende, isso sim, da medida do ângulo em questão. Essa razão, que depende do ângulo, é chamada de tangente desse ângulo. Assim, num triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos não é uma medida visível no mesmo, é a razão (numa ordem determinada) entre as medidas dos catetos (note que os ângulos α e β anteriores têm respectivamente tangentes ½ e 3; suas medidas, de aproximadamente 26,5° e 71,5° foram escolhidas devido à particularidade dos valores de suas tangentes).

Definição de Tangente: seja α um ângulo agudo (0° <α<90°) de vértice 0 e cujos lados são as semi-retas Or e Os. Considera-se na semi-reta r um ponto A, distinto de 0. Determina-se na semi-reta Os o ponto A’, de modo que AA’ (perpendicular) Os. Por definição, a tangente do ângulo α é a razão entre as medidas de AA’ e de OA’ (nessa ordem).

Indicando a tangente de α por tg α, temos:

Tg α = A’A/AO’ ou tg α = cateto oposto a α/cateto adjacente a α

Construção da Tabela de Tangentes

Objetivos: Construir uma tabela com os valores das tangentes de diversos ângulos.

ângulo	tangente
1°	0,0175/0,9998
2°	0,0349/,09994
3°	0,0523/0,9986
4°	0,0698/0,9976
5°	0,0872/0,9962
6°	0,1045/0,9945
7°	0,1219/0,9925

O Seno e o Cosseno no Triângulo Retângulo

Seja α um ângulo (0°<α<90°) de vértice 0 e cujos lados são as semi-retas Or e Os. Considera-se na semi-reta r um ponto A, distinto de O. Determina-se na semi-reta Os o ponto A’ de modo que AA’ (perpendicular) Os.

Por definição, o seno do ângulo α (que indicaremos por sem α) e o cosseno do ângulo α (que indicaremos por cos α) são respectivamente iguais a:

sen α = A’A/AO ou sen α = cateto oposto a α/hipotenusa

cos α = OA’/AO ou cos α = cateto adjacente a α/hipotenusa

5º.) Observe que se o ponto A for escolhido sobre a reta r, por exemplo, mais distante de 0, as medidas dos catetos e da hipotenusa aumentam numa mesma proporção mantendo-se, portanto, os valores do seno e do cosseno de α, calcule:

a) Sen α = A’A/AO = A’₁A₁/OA₁

b) cos α = OA’/AO = OA’₁/OA₁

Conclusões: O seno e o cosseno de α dependem, então, da medida do ângulo α e não das dimensões maiores ou menores do triângulo retângulo formado sobre esse ângulo α. Esse triângulo retângulo pode ser enorme com seus lados sendo, por exemplo, distâncias inter-estrelares, como pode ser um pequeno triângulo desenhado no papel: sendo ambos triângulos retângulos com um ângulo agudo congruente a α, as razões entre os catetos opostos a α e as hipotenusas são iguais nos dois triângulos. Aproveitamo-nos desse fato obtendo o seno de um ângulo agudo α em um pequeno triângulo que desenhamos no papel e, depois, utilizaremos esse valor para obter relações entre os lados de qualquer outro triângulo retângulo em que um dos ângulos agudos é α. O mesmo podemos dizer do cosseno de α.

6º.) Ângulos Notáveis – Mostrar: