Matemática – 2º, 5º e 9º anos do Ensino Fundamental
"As Matrizes de Referência de Matemática propostas neste documento contemplam os
aspectos cognitivos passíveis de serem medidos em testes de larga escala. Não contemplam os
aspectos socioemocionais, atitudinais ou valorativos, os quais poderão ser medidos por
intermédio dos questionários (além dos itens usuais, poderiam ser incluídos itens sobre a
autoestima dos estudantes em relação à Matemática, a perseverança em resolver problemas de
Matemática, o tempo dedicado ao estudo da disciplina etc.). Sobre o motivo de um teste de Matemática (dito de outro modo, por que testar Matemática?), conforme versa a própria BNCC
(BRASIL, 2017a, p. 263):
o conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja
por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. A Matemática
não se restringe apenas à quantificação de fenômenos determinísticos – contagem,
medição de objetos, grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com as
grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de fenômenos de caráter
aleatório. A Matemática cria sistemas abstratos, que organizam e inter-relacionam
fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados ou não a
fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e objetos que são
fundamentais para a compreensão de fenômenos, a construção de representações
significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos.
Por se tratar de testes de larga escala, externos à escola, é necessário ter claro o que se
quer medir – o constructo de Matemática. O constructo é um atributo intangível, com
manifestação variável entre indivíduos, que só pode ser avaliado indiretamente, como uma série
de resultados alcançados em um teste cognitivo, em conformidade com o que se pretende
mensurar com base nas habilidades presentes nas cinco unidades temáticas preconizadas pela
BNCC traduzidas nas Matrizes de Matemática do Saeb. O desempenho em um teste demonstraria
o desenvolvimento de habilidades que, em conjunto, corresponderiam a essa espécie de
estrutura de disposições da inteligência inerente aos sujeitos, denominada também de traço
latente.
O constructo em foco é o Letramento Matemático11, conceituado como a compreensão e
aplicação de conceitos e procedimentos matemáticos na resolução de problemas nos campos
de Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística, bem como
na argumentação acerca da resolução de problemas. Operacionalmente, a proficiência em
Matemática é definida pelas seguintes competências gerais da BNCC:
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico,
social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para
investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e
também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
11
Na BNCC, o Letramento Matemático é “definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar,
comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a
resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas
matemáticas”. (BRASIL, 2017a, p. 264).
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita),
corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística,
matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e
sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento
mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de
forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as
escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir
conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e
coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos
e experiências que lhes possibilite entender as relações próprias do mundo do trabalho
e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com
liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular,
negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e
promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável
em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado
de si mesmo, dos outros e do planeta.
À luz da BNCC e de outros estudos realizados pela equipe técnica do Inep indicados no
Anexo V, as Matrizes de Referência de Matemática são constituídas por eixos cognitivos e eixos
do conhecimento. Os eixos cognitivos serão apresentados na seção seguinte. Sobre os Eixos do
Conhecimento, são utilizadas as mesmas cinco Unidades Temáticas da BNCC. Há um eixo não
explícito, o contexto12, o qual pode ou não estar presente num determinado item, a depender da
habilidade. O contexto caracteriza cada item (ou a tarefa a ser resolvida/enfrentada em cada
item) e não foi incorporado à descrição das habilidades, à semelhança do que é feito na grande
maioria das habilidades de Matemática da BNCC, para não restringir o processo de elaboração
dos itens.
12 Em Matemática, o contexto pode ser definido como “o aspecto do mundo de um indivíduo em que os problemas
são colocados. A escolha de estratégias e representações matemáticas apropriadas é frequentemente dependente do
contexto em que surge um problema”.”..” Pode-se utilizar quatro categorias de contexto para classificar os itens:
pessoal, ocupacional, social e científico (este último inclui itens intramatemáticos)intra-matemáticos). (OECD (2013),
PISA 2012 Assessment and Analytical Framework: Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy,
OECD Publishing. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1787/9789264190511-en. Acesso em: 2 02 mar. 2017).)..)
Das dez competências gerais expressas na BNCC (BRASIL, 2017a, p. 9), sete podem ser
agrupadas/sintetizadas nos dois Eixos Cognitivos a seguir, bem como sete das oito competências
específicas de Matemática (BRASIL, 2017a, p. 265) (ver relação no Anexo VI):
Compreender e aplicar conceitos e procedimentos
Esse eixo cognitivo pode ser entendido como as FERRAMENTAS13 com as quais se faz
Matemática. Inclui reconhecer objetos matemáticos; fazer conexões entre conceitos e
procedimentos matemáticos; usar diferentes representações.
Resolver problemas e argumentar
Esse processo pode ser entendido como o USO das ferramentas para fazer Matemática.
Requer passar por FORMULAR, EMPREGAR e INTERPRETAR/AVALIAR.
Inclui analisar a plausibilidade dos resultados de um problema; construir, analisar ou avaliar
(fazer juízo de valor sobre) argumentos, estratégias, explicações, justificativas; construir ou avaliar
propostas de intervenção na realidade, entre outros.
Ainda sobre esse eixo cognitivo, considere as seguintes tarefas:
Tarefa 1 Calcule 23 – 5
Tarefa 2 Marina tem 23 bonecas. Resolveu doar 5 bonecas para um
bazar de caridade. Com quantas bonecas Marina ficou?
Em sala de aula, a Tarefa 1 é normalmente um exercício, porém, para aqueles alunos que
ainda não dominam a operação da subtração, é um problema geralmente resolvido pelo aluno
por complementação, contagem, esquema, desenho etc. Nas avaliações de larga escala não se
tem acesso à estratégia utilizada e, portanto, não se tem informação se foi um exercício ou um
problema.
Quanto à Tarefa 2, no cotidiano escolar ela é comumente percebida como um problema,
ainda que, para os alunos que dominam a resolução de problemas seja meramente um exercício.
Novamente, em avaliações de larga escala não se sabe se foi um exercício ou um problema.
Dependendo desse nível de aprendizagem, um mesmo item pode ser um problema para
um conjunto de participantes e exercício para outro conjunto e essa é uma questão com a qual
alguns pesquisadores já se depararam. Segundo Schoenfeld (2007, p. 10-11), “se problemas
semelhantes são utilizados ano após ano, os professores e os alunos aprendem quais eles são, e os alunos os praticam: os problemas se tornam exercícios, e o teste não avalia a resolução de
problemas.” Outro grupo de pesquisadores também nos adverte que
o que é um objetivo [educacional] mais complexo nas séries iniciais, pode se tornar um
objetivo de menor complexidade em séries posteriores. Por exemplo, um objetivo de
matemática, na 3ª série, que requeira diferenciar para que se possa resolver
cuidadosamente um problema específico, pode requerer na 4ª série implementar porque
a identificação desse tipo de problema já se tornou uma rotina. Na 5ª série, este mesmo
objetivo pode requerer executar, porque a solução do problema é quase automática, e
na 6ª série, o objetivo pode requerer o simples relembrar porque é provável que todos
os tipos comuns de problemas que são usados na instrução e na avaliação já tenham
sido vistos.
Assim, para chegar a um acordo sobre a classificação dos objetivos, os professores
precisam ter algum conhecimento ou fazer uma suposição sobre o aprendizado anterior
dos alunos. Este é provavelmente o problema mais comum e mais difícil de superar
quando se tenta classificar um objetivo abstratamente, sem referência a qualquer grupo
específico e/ou nível de ensino ou quando se usa a Tabela da Taxonomia sem nenhuma
informação dada sobre o aprendizado anterior dos alunos. (ANDERSON & KRATHWOHL,
2001, p. 106, tradução nossa.)
Nestas Matrizes de Referência, o que se entende por “resolver problemas” em Matemática
alinha-se à definição proposta pelo Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Operações
na resolução de problemas (BRASIL 2014b, p. 8) acerca de problema matemático que “é uma
situação que requer a descoberta de informações desconhecidas para obter um resultado. Ou
seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.”
Complementarmente,
um problema não é um exercício ao qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma
fórmula ou um processo operatório. Só há problema quando o aluno for levado a
interpretar o enunciado da questão proposta e a estruturar a situação que lhe foi
apresentada. Esta afirmação evidencia que problemas matemáticos em que o aluno não
precise pensar matematicamente e desenvolver estratégias de resolução, ou seja, não
precise identificar o conceito matemático que o resolve, transforma-se em simples
exercício, ou seja, em apenas fazer contas (BRASIL, 2014, p. 8. Grifos nossos).
Polya (1978) considerava que, já em 1945, para resolver um problema, é necessário
entendê-lo, estabelecer um plano, executá-lo e refletir sobre o resultado encontrado. Mais
recentemente, coadunando com Polya, o PISA traz o seguinte esquema sobre resolução de
matemática (Figura 3).
13 As FERRAMENTAS MATEMÁTICAS podem ser definidas como as terminologias (símbolos, linguagem matemática),
os conceitos (objetos, teoremas) e), os procedimentos (algoritmos, métodos).
Conforme esse esquema, a resolução de problemas envolve formular um problema no
contexto da matemática, empregar/mobilizar ferramentas para sua resolução e
interpretar/avaliar o resultado obtido tendo em vista o contexto original do problema. Portanto,
quando o item (a tarefa) exige, por exemplo, apenas identificar um objeto geométrico, relacionar
uma representação de um número a outra representação, calcular o resultado de uma operação
etc., entende-se que não se trata de uma resolução de problemas, pois esses tipos de tarefas
envolvem apenas um dos processos formular ou empregar.
Na medida do possível, nestas Matrizes de Referência, buscou-se classificar:
no 1º eixo cognitivo, habilidades que envolvem apenas formular (ex.: identificar a
equação polinomial de 2º grau que modela um problema) ou apenas empregar (ex.:
determinar a solução de uma equação polinomial de 2º grau);
no 2º eixo cognitivo, aquelas que envolvem formular + empregar + interpretar/avaliar
(ex.: resolver um problema que possa ser representado por equação polinomial de 2º
grau) ou apenas interpretar/avaliar (ex.: analisar a validade de determinadas resoluções
para um problema que possa ser representado por equação polinomial de 2º grau. Esse
é um caso particular da habilidade do exemplo anterior, no qual o participante do teste
não teria que produzir a resolução, mas analisar resoluções dadas).
Eixos do Conhecimento
Para esses Eixos, são utilizadas as mesmas cinco Unidades Temáticas da BNCC (BRASIL,
2017a).
Números
Desenvolver o pensamento numérico, que implica o conhecimento de quantificar atributos
de objetos e julgar e interpretar argumentos baseados em quantidades.
Nos anos iniciais, esse Eixo contempla conhecimentos sobre os diferentes usos e
significados dos números naturais e dos números racionais (nas representações decimal
finita e fracionária), sua leitura, escrita, comparação, ordenação, composição e
decomposição por meio da identificação e compreensão de características do Sistema
de Numeração Decimal, incluindo a representação na reta numérica. Também
contempla cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais,
bem como a resolução de problemas envolvendo diferentes significados dessas
operações, incluindo problemas de contagem. Em algumas habilidades, espera-se
medir se os alunos argumentam e justificam os procedimentos utilizados para a
resolução de problemas e se avaliam a plausibilidade dos resultados encontrados.
Quanto aos cálculos e resolução de problemas envolvendo números racionais, contempla
adição e subtração na representação fracionária finita e, nos casos de multiplicação e divisão, o
multiplicador deve ser natural e o divisor deve ser natural e diferente de zero; na representação
fracionária, contempla apenas problemas que envolvam fração como resultado de uma divisão
(quociente); na representação percentual, contempla problemas que envolvam 10%, 25%, 50%,
75% e 100%.
Nos anos finais, há ampliação e aprofundamento desse Eixo, que passa a contemplar
conhecimentos sobre os números reais, sua leitura, escrita, comparação, ordenação,
incluindo a representação na reta numérica e a notação científica. Além das quatro
operações, há habilidades que medem o domínio das operações de potenciação e
radiciação. Contempla ainda a resolução de problemas envolvendo diferentes
significados das operações, problemas de contagem, porcentagens e conceitos básicos
de economia e finanças (taxas de juros, inflação, aplicações financeiras). Assim como
nos anos iniciais, em algumas habilidades espera-se medir se os alunos argumentam e
justificam os procedimentos utilizados para a resolução de problemas e se avaliam a
plausibilidade dos resultados encontrados.
Álgebra
Desenvolver o pensamento algébrico para utilizar modelos matemáticos na compreensão,
representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e
estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos.
Grandezas e medidas
Desenvolver o estudo das medidas e das relações entre elas e consolidar e ampliar a noção
de número, de noções geométricas e da construção do pensamento algébrico.
Nos anos iniciais, esse Eixo contempla conhecimentos sobre as grandezas comprimento
(incluindo perímetro), massa, tempo, temperatura, área (de triângulos e retângulos),
capacidade e volume (de sólidos formados por blocos retangulares), unidades e
instrumentos de medida, incluindo problemas envolvendo as grandezas citadas.
Contempla também conhecimentos sobre moedas e cédulas do sistema monetário
brasileiro e problemas que envolvam situações de compra e venda.
Nos anos finais, há ampliação e aprofundamento desse Eixo, que passa a contemplar
abertura de ângulo (abordada com maior ênfase no Eixo Geometria) e há um
aprofundamento sobre as demais grandezas presentes nos anos iniciais, principalmente
área e volume. Inclui problemas que envolvem tais grandezas, recorrendo, quando
necessário, a transformações entre unidades de medida padronizadas mais usuais.
Probabilidade e estatística
Desenvolver habilidades para coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados
em uma variedade de contextos para a tomada de decisões; além disso, deve ser ampliado e
aprofundado com situações em que aparecem experimentos aleatórios, de forma a confrontar
seus resultados com os obtidos com a probabilidade teórica – probabilidade frequentista.
Nos anos iniciais, esse Eixo contempla a leitura, a interpretação, a análise e a construção
de tabelas (simples ou de dupla entrada) e gráficos (barras simples ou agrupadas,
colunas simples ou agrupadas, pictóricos ou de linhas) e noções de probabilidade.
Sobre esse último ponto, conforme a BNCC, a finalidade é promover a compreensão
de que nem todos os fenômenos são determinísticos. Para isso, as habilidades estão
centradas no desenvolvimento da noção de aleatoriedade, de modo que os alunos
compreendam que há eventos certos, eventos impossíveis e eventos prováveis.
Nos anos finais, há ampliação e aprofundamento desse Eixo, que passa a contemplar a
leitura, a interpretação, a análise e a construção de outros tipos de gráficos (de setores
e histograma), medidas de tendência central (média aritmética simples, moda e
mediana) e amplitude. Espera-se medir se os alunos explicam/descrevem os passos
para a realização de uma pesquisa estatística ou de um levantamento. Em relação à
probabilidade, a progressão dos conhecimentos se faz pelo aprimoramento da
capacidade de enumeração dos elementos do espaço amostral, que está associada,
também, aos problemas de contagem".
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