Números Racionais

Números Racionais

Observou-se que existem enormes dificuldades de aprendizagem em questões que envolvem os conceitos relativos aos números racionais.

Assim como dificuldades de ensinar estes conceitos relativos aos números racionais.

O quanto é prematuro o trabalho com frações o que pode contribuir para geração de traumas de difícil superação.

Estrutura curricular inadequada.

Fragmentação dos números racionais.

Números decimais são números racionais na representação decimal.

Inicialmente devemos pensar na função social do número e também nele como objeto matemático.

Atividade utilizando CALCULADORA

Divisão	Resultado
1 : 2	0,5
1 : 3	0,333333333...
1 : 4	0,25
1 : 5	0,2
1 : 6	0,16666666...
1 : 7	0,14285714285
1 : 8	0,125
1 : 9	0,111111111...
1 : 10	0,1

Ao professor: observar que existe uma ordenação tanto na primeira coluna como na segunda.

Para o aluno essa é uma atividade que poderá ficar na sua memória. Pois para o aluno será uma oportunidade de tomar contato com uma atividade inesperada.   

O aluno deverá estabelecer um critério para observar que existe uma ordenação na segunda coluna (Resultado).

Atividade utilizando CALCULADORA

Regularidades e Surpresas

a)   8 : 0,5 = 16

b)  7 : 0,5 = 14

c)    6 : 0,5 = 12

d)  5 : 0,5 = 10

e)   4 : 0,5 = 8

f)     3 : 0,5 = 6

g)   2 : 0,5 = 4

h)  1 : 0,5 = 2

Que regularidades os alunos devem observar:

O resultado é o dobro do número dividido (dividendo).

Dividir um número por 0,5 é multiplicar o dividendo por dois.

Atividade: Leitura e escrita de números racionais na forma decimal

c	d	u	d	c	m
	8	5,	5
	3	0,	7	3
		7,	2	5
	6	9,	0	0	4

Parte Inteira        

Parte Decimal

Ao Professor: ela serve de base para nomearmos as unidades de medidas do sistema métrico.

O concreto é a própria escrita e neste sentido devemos tomar cuidado com o uso do material dourado.

Um material cria uma imagem mental e devemos questionar até que ponto nos ajuda na compreensão de um conceito.

PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais

“A construção da ideia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o quociente entre dois números inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional.

No entanto, em que pese às relações entre números naturais, a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada.

Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo que enfrentar vários obstáculos:

·      Um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias; por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são diferentes representações de um mesmo número;

·      Outro diz respeito à comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão que construir uma escrita que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2;

·      Se o “tamanho” da escrita numérica era um bom indicador da ordem de grandeza no caso dos números naturais (8345 > 41), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece o mesmo critério;

·      Se ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa era a de encontrar um número maior que ambos, 10 por 1/2 se surpreenderão ao ver que o resultado é menor que 10;

·      Se a sequência dos números naturais permite falar em sucessor e antecessor, para os racionais não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais é sempre possível encontrar outros números racionais; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.

Ao optar por começar o estudo dos racionais pelo seu reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles aparecem no cotidiano das pessoas muito mais em sua representação decimal (números com vírgula) do que na forma fracionária.

O advento das calculadoras fez com que as representações decimais se tornassem bastante freqüentes. Desse modo, um trabalho interessante consiste em utilizá-las para o estudo das representações decimais na escola. Por meio de atividades em que os alunos são convidados a dividir, usando a calculadora, 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, 1 por 5, etc., e a levantar hipóteses sobre as escritas que aparecem no visor da calculadora, eles começarão a interpretar o significado dessas representações decimais.

Usando a calculadora, também perceberão que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos racionais na forma decimal, acrescendo-se novas ordens à direita da unidade (a primeira ordem) e de forma decrescente.

Além da exploração dessas escritas pelo uso da calculadora, os alunos também estabelecerão relação entre elas e as representações referentes ao sistema monetário e aos sistemas de medida.

Já o contato com representações fracionárias é bem menos freqüente; na vida cotidiana o uso de frações limita-se a metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que das representações.

A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate, ou de uma pizza, em partes iguais”.

A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de superfície ou de elementos). A fração indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes.

Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se na divisão de um natural por outro (a:b=a/b; b ≠ 0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas. No entanto, nos dois casos, o resultado é representado pela mesma notação: 2/3.

Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com informações do tipo “2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.

Outros exemplos podem ser dados: a possibilidade de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores (2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1 cm para 100 m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol).

O significado da fração como operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica. Esta ideia está presente, por exemplo, num problema do tipo “que número devo multiplicar por 3 para obter 2”.

Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais

Números Racionais: representação fracionária, representação decimal e representação porcentual.

É importante estudar as representações dos números racionais: frações, números decimais e porcentagem de forma simultânea.

Fração é um objeto e os estudos mostram que apóia-se na ideia de parte-todo e com apoio em grandezas contínuas (pizzas, bolos, chocolates,..).

A expressão “racional” (ratio) refere-se à ideia de “razão” entre dois números.        

Não existe número fracionário ou decimal, existe sim a representação do número racional nestas formas.

A ideia de metade pode ser representada de infinitas maneiras.

Paralelismo com números naturais: funções sociais, hipóteses dos alunos sobre as escritas, hipóteses sobre comparação e significados a partir do seu uso em situações-problema.

Números Racionais

Pesquisas – Anos 80

Behr, Lesh, Post e Silver (1983)

O que é sub-construtos?

Ideias relacionadas ao significado de determinado objeto.

Ohlsson (1987)

Kieren (1998) – no Brasil – 4 sub-construtos, medida, quociente, número proporcional e operador multiplicativo.

a/b , exprime uma relação entre o número de partes e o total de partes.

A criança deve explorar essas idéias.

É importante trabalhar essa relação não apenas grandezas contínuas (ligadas a idéia de medida), exemplos: chocolate, pizza, etc..., mas também com grandezas discretas (passível de contagem), exemplos: calcular 2/3 de uma coleção de 18 tampinhas.

Nós professores tendemos a uma única forma de representar metade.

Devemos explorar outras representações não somente para metade.

Assim devemos destacar a importância da justificativa por parte do aluno.

Utilizar diferentes representações gráficas, de diferentes maneiras e para representar diferentes idéias.

A “idéia” de quociente

Um número racional pode exprimir um quociente.

Dividir um chocolate em 3 (três) partes iguais e comer 2 (duas) dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 (dois) chocolates para 3 (três) pessoas.

Dividir igualmente 3 (três) folhas para 2 (duas) crianças.

Primeira Situação:

Primeira Criança: 1 + 1/2

Segunda Criança: 1 + ½

Segunda Situação:

Primeira Criança: 3/2

Segunda Criança: 3/2

Qual é o significado dessas escritas e o que elas representam?

Os significados dessas escritas aparecem quando lidamos com informações do tipo:

“2 (dois) em cada 3 (três) habitantes de uma cidade são imigrantes”.

“para cada 2 (dois) copos de farinha, usamos 3 (três) ovos”.

1/4 = 25/100 = 25%

Há um terreno que ficou de herança para 7 (sete) irmãos.

1/7 = 0,142857142...

Neste caso é muito mais significativo a escrita 1/7.

Outro exemplo:

1260/2520 = 50%

50% dos trabalhadores de uma cidade atuam na construção civil, neste caso é mais significativa a representação percentual.

No 4º. e 5º. Ano é mais importante trabalhar com a conceituação e evitar um trabalho com operações muito complexas. 

Comparação de Racionais

Na forma fracionária

Qual é o maior ...

1/2 ou 1/3

2/4 ou 2/5

2/3 ou 4/5

Redução ao mesmo denominador

Ao Professor:

Devemos dar ênfase na equivalência e não no MMC.

4/7 + 2/7 = 6/7

5/7 – 2/7 = 3/7

Num trabalho bem feito as hipóteses das crianças poderão estar corretas.

Devemos trabalhar mais com a “ideia” do denominador.

A oralidade deve sempre estar associada a escrita.

4/5 + 5/2 = 8/10 + 25/10 (frações equivalentes) = 33/10

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 (frações equivalentes)

1/2 = 3/6 = 9/18 = 27/54 ... (multiplicar por 3)

1/3 = 2/6 = 4/12 = 8/24 ...   (multiplicar por 2)

1/2 + 1/3 = 2/4 + 3/9 (deu no mmc)

A “idéia” de operador

Que número que multiplicado por 5/4 resulta 2/3?

Outro Caso:

1/3 de 1/2 = 1/6

Ao Professor: dividir um inteiro em 2 (duas) partes iguais. Dividir em 3 (três) partes iguais estas 2 (duas) partes e pintar apenas uma delas.

2/5 de 1/7 = 2/35

Ao Professor: dividir um inteiro em 7 (sete) partes iguais. Dividir em 5 (cinco) partes iguais estas 7 (sete) partes e pintar apenas duas delas.  

As crianças serão capazes de identificar uma regularidade se efetivamente for trabalhado essas “ideias”.

Assim será possível que as crianças cheguem a regra e ela poderá ser validada pelo professor.

Numerador x Numerador

Denominador x Denominador

Divisão:

2/35 : 1/7 = 2/5

2/35 . 7/1 = 14/35 = 2/5      

Equivalência de Frações:

1/2 : 1/3 =  3/6 : 2/6 = 3 : 2/6 : 6 = 3/2 (6 : 6 = 1)

1/2 : 1/3 = 1/2 . 3/1 = 3/2 (chega-se a uma regra)

10/9 : 5/3 = 2/3;  a/b . c/d = a . c/b . d (sempre teremos o recurso da equivalência)

Anotações do PCNP Lúcio durante a participação no Projeto EMAI - Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Assessoria: Célia Maria Carolino Pires