Números Racionais
Observou-se que existem enormes dificuldades de aprendizagem em questões que envolvem os conceitos relativos aos números racionais.
Assim como dificuldades de ensinar estes conceitos relativos aos números racionais.
O quanto é prematuro o trabalho com frações o que pode contribuir para geração de traumas de difícil superação.
Estrutura curricular inadequada.
Fragmentação dos números racionais.
Números decimais são números racionais na representação decimal.
Inicialmente devemos pensar na função social do número e também nele como objeto matemático.
Atividade utilizando CALCULADORA
Divisão
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Resultado
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1 : 2
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0,5
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1 : 3
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0,333333333...
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1 : 4
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0,25
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1 : 5
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0,2
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1 : 6
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0,16666666...
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1 : 7
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0,14285714285
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1 : 8
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0,125
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1 : 9
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0,111111111...
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1 : 10
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0,1
|
Ao professor: observar que existe uma ordenação tanto na primeira coluna como na segunda.
Para o aluno essa é uma atividade que poderá ficar na sua memória. Pois para o aluno será uma oportunidade de tomar contato com uma atividade inesperada.
O aluno deverá estabelecer um critério para observar que existe uma ordenação na segunda coluna (Resultado).
Atividade utilizando CALCULADORA
Regularidades e Surpresas
a) 8 : 0,5 = 16
b) 7 : 0,5 = 14
c) 6 : 0,5 = 12
d) 5 : 0,5 = 10
e) 4 : 0,5 = 8
f) 3 : 0,5 = 6
g) 2 : 0,5 = 4
h) 1 : 0,5 = 2
Que regularidades os alunos devem observar:
O resultado é o dobro do número dividido (dividendo).
Dividir um número por 0,5 é multiplicar o dividendo por dois.
Atividade: Leitura e escrita de números racionais na forma decimal
c
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d
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u
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d
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c
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m
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8
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5,
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5
| |||
3
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0,
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7
|
3
| ||
7,
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2
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5
| |||
6
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9,
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0
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0
|
4
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Parte Inteira
Parte Decimal
Ao Professor: ela serve de base para nomearmos as unidades de medidas do sistema métrico.
O concreto é a própria escrita e neste sentido devemos tomar cuidado com o uso do material dourado.
Um material cria uma imagem mental e devemos questionar até que ponto nos ajuda na compreensão de um conceito.
PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais
“A construção da ideia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o quociente entre dois números inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional.
No entanto, em que pese às relações entre números naturais, a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada.
Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo que enfrentar vários obstáculos:
· Um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias; por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são diferentes representações de um mesmo número;
· Outro diz respeito à comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão que construir uma escrita que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2;
· Se o “tamanho” da escrita numérica era um bom indicador da ordem de grandeza no caso dos números naturais (8345 > 41), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece o mesmo critério;
· Se ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa era a de encontrar um número maior que ambos, 10 por 1/2 se surpreenderão ao ver que o resultado é menor que 10;
· Se a sequência dos números naturais permite falar em sucessor e antecessor, para os racionais não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais é sempre possível encontrar outros números racionais; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Ao optar por começar o estudo dos racionais pelo seu reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles aparecem no cotidiano das pessoas muito mais em sua representação decimal (números com vírgula) do que na forma fracionária.
O advento das calculadoras fez com que as representações decimais se tornassem bastante freqüentes. Desse modo, um trabalho interessante consiste em utilizá-las para o estudo das representações decimais na escola. Por meio de atividades em que os alunos são convidados a dividir, usando a calculadora, 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, 1 por 5, etc., e a levantar hipóteses sobre as escritas que aparecem no visor da calculadora, eles começarão a interpretar o significado dessas representações decimais.
Usando a calculadora, também perceberão que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos racionais na forma decimal, acrescendo-se novas ordens à direita da unidade (a primeira ordem) e de forma decrescente.
Além da exploração dessas escritas pelo uso da calculadora, os alunos também estabelecerão relação entre elas e as representações referentes ao sistema monetário e aos sistemas de medida.
Já o contato com representações fracionárias é bem menos freqüente; na vida cotidiana o uso de frações limita-se a metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que das representações.
A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate, ou de uma pizza, em partes iguais”.
A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de superfície ou de elementos). A fração indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes.
Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se na divisão de um natural por outro (a:b=a/b; b ≠ 0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas. No entanto, nos dois casos, o resultado é representado pela mesma notação: 2/3.
Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com informações do tipo “2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.
Outros exemplos podem ser dados: a possibilidade de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores (2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1 cm para 100 m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol).
O significado da fração como operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica. Esta ideia está presente, por exemplo, num problema do tipo “que número devo multiplicar por 3 para obter 2”.
Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais
Números Racionais: representação fracionária, representação decimal e representação porcentual.
É importante estudar as representações dos números racionais: frações, números decimais e porcentagem de forma simultânea.
Fração é um objeto e os estudos mostram que apóia-se na ideia de parte-todo e com apoio em grandezas contínuas (pizzas, bolos, chocolates,..).
A expressão “racional” (ratio) refere-se à ideia de “razão” entre dois números.
Não existe número fracionário ou decimal, existe sim a representação do número racional nestas formas.
A ideia de metade pode ser representada de infinitas maneiras.
Paralelismo com números naturais: funções sociais, hipóteses dos alunos sobre as escritas, hipóteses sobre comparação e significados a partir do seu uso em situações-problema.
Números Racionais
Pesquisas – Anos 80
Behr, Lesh, Post e Silver (1983)
O que é sub-construtos?
Ideias relacionadas ao significado de determinado objeto.
Ohlsson (1987)
Kieren (1998) – no Brasil – 4 sub-construtos, medida, quociente, número proporcional e operador multiplicativo.
a/b , exprime uma relação entre o número de partes e o total de partes.
A criança deve explorar essas idéias.
É importante trabalhar essa relação não apenas grandezas contínuas (ligadas a idéia de medida), exemplos: chocolate, pizza, etc..., mas também com grandezas discretas (passível de contagem), exemplos: calcular 2/3 de uma coleção de 18 tampinhas.
Nós professores tendemos a uma única forma de representar metade.
Devemos explorar outras representações não somente para metade.
Assim devemos destacar a importância da justificativa por parte do aluno.
Utilizar diferentes representações gráficas, de diferentes maneiras e para representar diferentes idéias.
A “idéia” de quociente
Um número racional pode exprimir um quociente.
Dividir um chocolate em 3 (três) partes iguais e comer 2 (duas) dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 (dois) chocolates para 3 (três) pessoas.
Dividir igualmente 3 (três) folhas para 2 (duas) crianças.
Primeira Situação:
Primeira Criança: 1 + 1/2
Segunda Criança: 1 + ½
Segunda Situação:
Primeira Criança: 3/2
Segunda Criança: 3/2
Qual é o significado dessas escritas e o que elas representam?
Os significados dessas escritas aparecem quando lidamos com informações do tipo:
“2 (dois) em cada 3 (três) habitantes de uma cidade são imigrantes”.
“para cada 2 (dois) copos de farinha, usamos 3 (três) ovos”.
1/4 = 25/100 = 25%
Há um terreno que ficou de herança para 7 (sete) irmãos.
1/7 = 0,142857142...
Neste caso é muito mais significativo a escrita 1/7.
Outro exemplo:
1260/2520 = 50%
50% dos trabalhadores de uma cidade atuam na construção civil, neste caso é mais significativa a representação percentual.
No 4º. e 5º. Ano é mais importante trabalhar com a conceituação e evitar um trabalho com operações muito complexas.
Comparação de Racionais
Na forma fracionária
Qual é o maior ...
1/2 ou 1/3
2/4 ou 2/5
2/3 ou 4/5
Redução ao mesmo denominador
Ao Professor:
Devemos dar ênfase na equivalência e não no MMC.
4/7 + 2/7 = 6/7
5/7 – 2/7 = 3/7
Num trabalho bem feito as hipóteses das crianças poderão estar corretas.
Devemos trabalhar mais com a “ideia” do denominador.
A oralidade deve sempre estar associada a escrita.
4/5 + 5/2 = 8/10 + 25/10 (frações equivalentes) = 33/10
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 (frações equivalentes)
1/2 = 3/6 = 9/18 = 27/54 ... (multiplicar por 3)
1/3 = 2/6 = 4/12 = 8/24 ... (multiplicar por 2)
1/2 + 1/3 = 2/4 + 3/9 (deu no mmc)
A “idéia” de operador
Que número que multiplicado por 5/4 resulta 2/3?
Outro Caso:
1/3 de 1/2 = 1/6
Ao Professor: dividir um inteiro em 2 (duas) partes iguais. Dividir em 3 (três) partes iguais estas 2 (duas) partes e pintar apenas uma delas.
2/5 de 1/7 = 2/35
Ao Professor: dividir um inteiro em 7 (sete) partes iguais. Dividir em 5 (cinco) partes iguais estas 7 (sete) partes e pintar apenas duas delas.
As crianças serão capazes de identificar uma regularidade se efetivamente for trabalhado essas “ideias”.
Assim será possível que as crianças cheguem a regra e ela poderá ser validada pelo professor.
Numerador x Numerador
Denominador x Denominador
Divisão:
2/35 : 1/7 = 2/5
2/35 . 7/1 = 14/35 = 2/5
Equivalência de Frações:
1/2 : 1/3 = 3/6 : 2/6 = 3 : 2/6 : 6 = 3/2 (6 : 6 = 1)
1/2 : 1/3 = 1/2 . 3/1 = 3/2 (chega-se a uma regra)
10/9 : 5/3 = 2/3; a/b . c/d = a . c/b . d (sempre teremos o recurso da equivalência)
Anotações do PCNP Lúcio durante a participação no Projeto EMAI - Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
Assessoria: Célia Maria Carolino Pires
Números Racionais
Diferentes significados dos Números Racionais
“Kieren (1975) foi o primeiro pesquisador a chamar a atenção da comunidade científica para o fato de que os números racionais assumem diferentes significados e que a compreensão da noção de número racional depende do entendimento dessas diferentes interpretações. Kieren identificou cinco idéias básicas no processo de compreensão dos números racionais, a saber: quociente, parte-todo, medida, razão e operador”.
“Post, Behr e Lesh (1982) também destacam que a construção dos números racionais não é simples e, por isso, eles precisam ser caracterizados por uma série de subconstruções distintas, embora relacionadas, que são quociente, parte-todo, medida, razão e operador”.
Quociente
Um número racional (positivo) pode ser usado para representar o quociente de dois números naturais quaisquer, em que o segundo não pode ser zero.
a/b = a:b, sendo b≠0
Exemplos:
a) Dividir 5 (cinco) folhas de papel para 3 (três) meninas (Ana, Bete e Carla).
b) Organizar 30 (trinta) crianças em grupos de 5 (cinco) para realizar uma brincadeira.
Parte-todo
Um número racional pode ser usado para representar a relação entre uma parte e um todo. A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um “todo” é dividido em partes, equivalentes em quantidade de superfície ou de elementos. A representação fracionária indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes.
Exemplos:
a) Um chocolate foi dividido em 5 (cinco) partes iguais e eu comi duas partes. Comi, portanto, 2/5 (duas partes das cinco que formam o todo).
b) Em uma sala de 30 (trinta) alunos, 20 (vinte) preferiram jogar futebol na aula de Educação Física. Portanto, 20/30 ou 2/3 representa a parte dos que preferiram jogar futebol em relação ao total de alunos.
“Kieren (1988) mostra a inconveniência de trabalhar apenas com o modelo parte-todo. Afirma que essa escolha induz ao processo de dupla contagem e não estimula a criança a penetrar no campo dos quocientes. Os alunos aprendem que devem contar o número total de partes em que foi dividido o inteiro e usar esse número como denominador e que devem contar o número de partes pintadas na figura e usá-lo para o numerador da fração”.
“Provavelmente, não compreendem por que esse número não é um número natural, pois estão contando a quantidade de partes”.
“É de se esperar que eles não relacionem esses dois números naturais, porque a interpretação de quociente não lhes é apresentada e, com isso, a relação entre numerador e denominador fica perdida, não se desenvolvendo a idéia de número racional representando também uma quantidade”.
“Hart (1981), ela destaca que a fração é vista pelas crianças como dois números inteiros não relacionados”.
Medida
“Um número racional (positivo) pode ser usado para representar a medida de uma grandeza, tomando como unidade de medida outra grandeza, tomando como unidade de medida outra grandeza de mesma natureza”.
Exemplos:
a) A relação entre cada copo de 250 ml e 1 litro de água pode ser representada por 250/1000 ou ¼.
b) A relação entre um minuto e uma hora pode ser representada por 1/60.
Razão
“Um número racional pode ser usado para representar um índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretado como razão”.
Exemplos:
a) Dois de cada três habitantes de uma cidade são imigrantes. A razão 2/3 representa essa relação.
b) Em cada 100 alunos da escola 40 gostam de música sertaneja. A razão 40/100 (ou 40%) representa essa razão.
Operador
“Quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica”.
Exemplo:
Essa ideia está presente, por exemplo, em um problema do tipo “que número devo multiplicar por 3 para obter 2”.
Fonte de Pesquisa: Educação Matemática conversas com professores dos anos iniciais, Célia Maria Carolino Pires.
Fonte: Educação Matemática em Revista – SBEM.
AAP 2015 - Sugestões de Atividades para apoiar a recuperação contínua
Conceito de Fração
Dicionário: Sf. 1. Parte de um todo. 2. Mat. Número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. [Pode ser escrita em forma decimal, como por ex., 0,5 ou 0,375; ou na forma de divisão entre dois números inteiros, um acima outro abaixo de um traço: 1/2 ] (FERRREIRA, 2009, p. 416).
“Pesquisadores matemáticos classificam as frações por seus diferentes significados e, mesmo havendo diferenciação entre um ator e outro, podemos incluir esses significados nas quatro ideias apresentadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998): relação parte/todo, quociente, razão e operador”.
Propostas de atividades:
1º.) Identificação de Frações em um Retângulo
Objetivo da atividade: relacionar a unidade às suas partes fracionárias e, assim, identificar frações.
Com fichas de mesma cor, unidas lado a lado, verificar que elas ficam com a mesma dimensão da ficha que representa a unidade. Assim os alunos deverão concluir que:
Se a unidade é formada por duas fichas (partes do todo), então cada uma dessas fichas representa ½ da unidade.
Marcar, em cada ficha, a representação fracionária “1/2”.
O mesmo procedimento deverá ser feito com as demais fichas, a fim de identificar, e marcar, a representação fracionária correspondente a cada ficha.
2º.) Identificação de Frações em um Círculo
Objetivo da atividade: relacionar a unidade às suas partes fracionárias, porém é representada por um círculo.
É necessário fichas circulares de mesmo tamanho em cores diversas, onde uma delas representará a unidade, e as demais deverão ser recortadas como setores circulares, representando as partes do todo.
Com setores circulares de mesma cor, unidos, de modo a formar um círculo, verificar que eles ficam com as mesmas dimensões do círculo que representa a unidade. Assim, os alunos deverão concluir que:
Se a unidade é formada por dois setores circulares, então cada um desses setores representa 1/2 da unidade.
Em cada um dos setores, deverá ser anotada a fração correspondente ao círculo inteiro.
3º.) identificação de Frações em um Hexágono
“Esta atividade é apresentada em forma de exercício e aprofunda o conteúdo de identificação de frações, portanto, deve ser aplicada após exercícios do livro didático. Seu objetivo é identificar frações em figuras não tradicionais, e traz o hexágono regular como exemplo”.
Tempo Previsto: 40 minutos
“Nesta etapa escolar, os alunos ainda não têm muito contato como figuras geométricas que não sejam quadrados, retângulos, triângulos ou círculos. Portanto, a primeira etapa desta atividade é o reconhecimento da figura dada: um polígono de seis lados iguais, ou seja, o hexágono regular”.
“Em seguida, faz-se necessária a observação de que as partes de um mesmo hexágono são equivalentes entre si, ou seja, a figura está dividida em partes iguais. Para esse momento deve-se abrir um espaço aos alunos para observarem curiosamente e discutirem sobre suas conclusões”.
Figuras: Hexágonos divididos igualmente
Fonte: Adaptada de Giménez e Bairral (2005)
“Estando os alunos convencidos de que as partes de um mesmo inteiro são iguais, deverão anotar a fração que cada parte representa. Por exemplo, o hexágono abaixo está dividido em 18 partes iguais, logo, cada parte representa 1/18”.
4º.) Identificação de Frações em Figuras não Divididas Igualmente
“Esta atividade é apresentada em forma de exercício, e aprofunda o conteúdo de identificação de frações. O objetivo desta atividade é identificar frações em figuras que são igualmente divididas, cabendo ao aluno, observar e traçar segmentos que as deixem divididas em partes iguais”.
Tempo Previsto: 50 minutos
“Num primeiro contato com a figura abaixo, é provável que muitos alunos representem a parte colorida, erroneamente, pela fração 1/3”.
“Portanto antes de iniciar essa atividade, é necessário que o professor relembre aos alunos de que o denominador da fração representa o número de partes iguais em que ela está dividida”.
“Alguns dos quadrados abaixo estão divididos igualmente, mas outros não. Sendo assim, quando necessário, deverão traçar segmentos internos, a fim de obter partes iguais e, então, escrever a fração associada à parte colorida”.
“Espera-se que seja traçada a menor quantidade possível de segmentos, para que a fração seja representada na sua forma simplificada. Porém, pode ocorrer de alguns alunos dividirem os quadrados em mais partes que o necessário, sem que isso torne a atividade errada. Por exemplo, dividir o quinto quadrado (2º linha da 1º coluna) em oito partes iguais ao invés de quatro. Portanto, é importante que, no momento da correção dos exercícios, o professor registre no quadro de diferentes respostas encontradas por eles, abrindo assim um espaço para iniciar a noção de frações equivalentes”.
5º.) Reconstrução da Unidade
Esta atividade é apresentada na forma de exercício e seu objetivo é reconhecer a função do denominador.
Material necessário: tesoura e folhas coloridas diversas para a confecção de polígonos.
T empo Previsto: 90 minutos.
Através do denominador de uma fração é possível reconstruir a unidade. Por exemplo, pela fração 1/6, podemos concluir que a unidade é formada por seis partes de 1/6.
Assim, se um quadrado representa 1/6 de um retângulo, então esse retângulo é formado por seis retângulos idênticos ao primeiro.
Atividades:
Frações equivalentes
Os PCNs (Brasil, 1998) reconhecem que há uma grande dificuldade na aprendizagem dos números racionais, possivelmente, pelo fato de que esses números rompem muitas ideias criadas pelos números naturais.
Até o 3º. Ano do Ensino Fundamental, o único conjunto numérico conhecido pelos alunos é o conjunto dos naturais, e ele representa uma determinada quantidade através de um único símbolo numérico. No 4º ano, os alunos começam ater seu primeiro contato com os números racionais e, a partir daí, segundo os PCNs (BRASIL, 1998) irão encontrar dificuldades com rupturas de construídas pelos números naturais. Uma dessas dificuldades estaria nas infinitas escritas fracionárias para representar um mesmo número, como por exemplo: 1/3, 2/6, 3/9, 4/12,...
Se há essa dificuldade na compreensão das múltiplas representações fracionárias, então se faz necessária maior atenção ao ensino das frações equivalentes. Para Lopes (2008, p. 9),
[... ] o conceito de fração equivalente é um dos mais importantes no ensino-aprendizagem das frações, mas considero insuficiente o trabalho restrito a grades retangulares. Temos observado que para escrever uma fração equivalente, na maioria dos casos, a atividade da criança reduz-se a contagem do total de células, tal como foi instruída.
Os resultados da Prova Brasil de 2009, aplicada a alunos dos 9º ano do Ensino Fundamental, também mostram deficiências na identificação de frações equivalentes.
Propostas de atividades:
1º) Introdução de Frações Equivalentes no Retângulo
2º) Introdução de Frações Equivalentes no Círculo
3º.) Frações Decimais Equivalentes
Fonte:
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