Probabilidade/2

IX – Probabilidade de um Evento num Espaço Equiprovável
Exemplos:
6º.) De um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem de copas?
Temos:
Cada par de cartas possíveis de serem extraídas , pode ser considerado como uma combinação das 52 cartas tomadas duas a duas. Isto é,
Ω = C52,2 = 52.51/2 = 1326
n (A) = 78
C13, 2 = 13.12/2
Logo, P (A) = 78/1326 = 39/663 = 1/17.
Poderíamos ter resolvido o problema, considerando Ω como ser formado por arranjos, ao invés de combinações, isto é,
Ω = A52,51 = 52.51 = 2652.
e o evento A seria formado pelos arranjos de duas cartas de copas, isto é:
A = A13,2 = 13.12 = 156.
n (A) = 156.
P (A) = 156/2652 = 1/17.

Atividades:
12º.) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?
ocorre dama de copas.
Ocorre dama.
Ocorre carta de naipe “paus”.
Ocorre dama ou rei ou valete.
Ocorre uma carta que não é rei.

13º.) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do número escolhido:
Ser par?
Ser ímpar?
Ser Primo?
Quadrado Perfeito?
14º.) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Ele estude Economia e Engenharia?
Ele estude somente Engenharia?
Ele estude somente Economia?
Ele não estude Engenharia, nem Economia?
Ele estude Engenharia ou Economia?

X – Probabilidade Condicional

Seja Ω um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A/B) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A/B) tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de A.

Exemplos:
7º.) Consideremos o lançamento de um dado e observação da face de cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os eventos:
A: ocorre um número ímpar
B: ocorre um número maior ou igual a 2.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
P(A/B) será então a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço amostral reduzido.
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
Atribuindo 1/5 para a probabilidade de cada evento elementar de B, o evento ocorrer número ímpar no espaço amostral “reduzido” será {3, 5} e portanto.
P(A/B) =1/5 + 1/5 = 2/5

8º.) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela.
Solteiro Casado Desquitado Viúvo
Masculino (M) 50 60 40 30 180
Feminino (F) 150 40 10 20 220
200 100 50 50

Uma pessoa é escolhida ao acaso. Sejam os eventos:
S: a pessoa é solteira,
M: a pessoa é do sexo masculino.
P(S/M) significa a probabilidade da pessoa ser solteira, no novo espaço amostral reduzido, das 180 pessoas do sexo masculino. Ora, como existem 50 solteiros nesse novo espaço amostral:
P(S/M) = 50/180 = 5/18.
Sejam ainda os eventos:
F: a pessoa escolhida é do sexo feminino.
D: a pessoa escolhida é desquitada, então P(F/D) significa a probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino, no novo espaço amostral reduzido das 50 pessoas desquitadas. Ora, como existem 10 pessoas do sexo feminino nesse novo espaço amostral, P(F/D) = 10/50 = 1/5.
Notemos que P(F/D) ≠ P(D/F) pois um cálculo simples nos mostra que P(D/F) = 10/220 = 1/22.
Atividades:
15º.) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

Olhos
azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3

Cabelos
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
loira?
morena de olhos azuis?
Morena ou ter olhos azuis?
Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?

XI – Teorema da Multiplicação

Uma consequência importante da definição formal de probabilidade condicional é a seguinte:
P(A/B) = P(A∩B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∩B) = P(B).P(A/B)

P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
P(A∩B) = P(A).P(B/A)

Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos (P(A∩B)) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
Exemplos:
9º.) Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?




Os dados do problema podem ser colocados num diagrama de árvore. Como cada urna é selecionada ao acaso, a probabilidade é ½ para cada urna I e II (escrevemos ½ em cada ramo que parte do ponto inicial para uma urna obtida).
Dada a urna escolhida, escrevemos as probabilidades condicionais de extrairmos da mesma uma bola de determinada cor. Tais probabilidades são colocadas nos ramos que partem de cada urna para cada resultado do 2º. Experimento (extração da bola).
Sejam: U1, o evento escolher urna I e V, o evento escolher bola vermelha.
Estamos interessados no evento U1 ∩ V. Logo, pelo teorema da multiplicação:
P (U1 ∩ V) = P(U1).P(V/U1)
Ora, P(U1) = ½, P(V/ U1) = 2/5.
Logo, P(U1 ∩ V) = ½.2/5 = 1/5.
Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de , U1 e V é o produto das probabilidades que aparecem nos ramos da árvore onde estão situados I e V.
½.2/5
Analogamente, indicando por U2 o evento urna II e por B o evento bola branca, teremos:
P(U1 ∩ B) = ½.3/5 = 3/10.
P(U2 ∩V) = ½.4/9 = 2/9.
P(U2 ∩ B) = ½.5/9 = 5/18.

Atividades:

16º.) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso.


luciocarnaúba@ibest.com.br