“A metade, da metade, da metade, da metade, da metade, da terça parte, da terça parte de um número é 7. Qual é este número?”
2016, o número que era para ter sido e não foi
O ser humano aprecia regularidades e simetrias na natureza há milhares de anos, o que influenciou a arquitetura, o artesanato e as artes plásticas. Nos últimos anos com o crescimento, para lá de exponencial das redes sociais, gifs animados, applets e outras ferramentas como softwares de geometria dinâmica exibindo padrões de simetria e regularidades batem recordes de curtidas.
O prazer de brincar com a matemática das regularidades rompeu as fronteiras da geometria e tem sido apreciado e explorado em outros campos da matemática como os números.
É o que se vê nas viradas de ano, em que matemáticos e curiosos buscam padrões na composição do número que representa o ano do calendário. Não fugi à regra e resolvi explorar o número 2016, que marca o ano que inicia. Faço, não só para despertar a curiosidade das pessoas sobre relações matemáticas, mas principalmente porque vejo na matemática recreativa, que é uma subárea da matemática, uma fonte rica de recursos válidos para despertar o interesse das crianças e adolescentes sobre coisas simples como o número que expressa uma data e com isto não só chamar a atenção para as regularidades e relações matemáticas, mas também para desenvolver o raciocínio e o pensamento matemático.
Comecemos então a pensar sobre as propriedades do número 2016, que expressa o ano que entra de acordo com o calendário gregoriano.
A primeira coisa simples que vem à cabeça é que se trata de um número par, qualquer criança já alfabetizada é capaz de reconhecer esta propriedade sem problemas e, dependendo do nível de conhecimentos dos alunos, é possível aceitar que 2016 pertence a uma variedade de conjuntos numéricos, naturais, inteiros, racionais e reais.
Os gregos, que criaram a matemática formal, também eram muito imaginativos, chegavam a atribuir qualidades humanas aos números. Classificaram os números inteiros (para contar) em dois grupos: os números masculinos (os ímpares) e os femininos (os pares). Desta perspectiva já sabemos que 2016 é um número feminino.
Euclides de Alexandria (séc. III a.C.) dedicou alguns capítulos de seu clássico “Os Elementos” aos números e suas propriedades, no capítulo VII os números pares foram subdivididos em novas subclasses: os parmente pares, parmente ímpares ou imparmente pares.
· Parmente par: cuja metade é par (com exceção do 1), são nossas potências de 2.
· Parmente impar: o dobro de um número impar.
· Imparmente par: produto de um impar por um parmente par.
Sabemos agora que 2016 é um número imparmente par, pois é o resultado da multiplicação de um número impar (63) por um número parmente par (32). Confira. Mas não conte isto para os alunos, evite dar informação mastigada para eles, deixe que saboreiem a descoberta. Conte a eles como os antigos classificavam os números e peça que descubram em que categoria se encaixa o número do ano.
A matemática deve ser um jogo, uma brincadeira instigante que provoca o desenvolvimento do raciocínio. Brincar com números e datas pode ser feito de diversas maneiras, por exemplo, no site da coleção Matemática do Cotidiano, foi proposto como desafio:
“A metade, da metade, da metade, da metade, da metade, da terça parte, da terça parte de um número é 7. Qual é este número?”
Este formato possibilita que os alunos utilizem uma engenhosa estratégia de resolução de problemas que é trabalhar de trás para frente, tal como sugerido por G. Polya em seu livro “A Arte de Resolver Problemas”.
7 x 3 = 21 --> 21 x 3 = 63 --> o dobro de 63 é 126 --> 126 x 2 = 252, cujo dobro é 504 --> 504 x 2 = 1008 cujo dobro é .. voilá! 2016. Ahá! Acredite as crianças adoram descobrir por si mesmas.
Outra intrigante curiosidade sobre o número 2016 é o fato de que é um número triangular.
Imagine uma pilha triangular de latas com 63 camadas, na base 63, na seguinte 62, na próxima camada 61, e assim por diante até as últimas camadas, a 63ª camada do topo (que forma o vértice do triângulo) tem 1 lata. No total esta pilha tem 2016 latas.
Em outras palavras 2016 é a soma dos 63 primeiros números naturais:
1 + 2 + 3 + 4 . . . + 60 + 61 + 62 + 63 = 2016
A invenção dos números triangulares é da época do pitagóricos (seguidores de Pitágoras) que se interessaram e estudaram os números figurados, como os números quadrados (1, 4, 9, 16, 25, .. , n.n), triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ... n(n-1)/2), pentagonais, hexagonais, etc.
Para não desviar do objetivo principal deste texto me abstenho de explicar aqui o que são números hexagonais, deixo apenas a informação de que 2016 é um deles (32º número hexagonal).
Quaaaase perfeito, ... só que não!
2016 poderia ser um número perfeito a não ser por um pequeno detalhe. E esta é a razão do título “um número que poderia ter sido, mas não foi”. A propósito, o jogo de palavras foi inspirado na novela Roque Santeiro (1985/1986) em que havia uma personagem, a viúva Porcina, aquela que foi sem nunca ter sido (a mulher de Roque).
Voltando a nosso 2016 e os números perfeitos. A história da matemática é um poderoso recurso para motivar os alunos para a matemática e é na história da matemática grega que vamos buscar a ideia de número perfeito.
Os gregos tinham uma classificação para os números de acordo com seus divisores, inventaram os números abundantes e os números deficientes.
· Números abundantes são aqueles cuja soma de seus divisores próprios (exceto o próprio número) é maior do que o número.
Por exemplo, 12 é um número abundante, pois somando seus divisores próprios 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.
· Números deficientes são aqueles cuja soma de seus divisores próprios (exceto o próprio número) é menor do que o número.
Um exemplo é o número 8, em que a soma de seus divisores próprios é 1 + 2 + 4 = 7 < 8.
Você deve estar se perguntando “e se um número não é nem abundante, nem deficiente ?”. Bem se este é o caso então se trata de um número perfeito.
Os números 6 e 28 são exemplos de números perfeitos:
D(6) = {1, 2, 3, 6}
1, 2 e 3 são divisores próprios, observe que 1 + 2 + 3 = 6
O mesmo ocorre com o 28:
D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Somando seus divisores exceto o próprio 28, obtém-se: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
O terceiro e o quarto números perfeitos são os números 496 e 8128, mas fica por conta de sua curiosidade e espírito de investigação, checar se são mesmo.
E porque 2016 poderia ter sido um número perfeito, mas não é ?
É quase um número perfeito, porque uma das fórmulas que o gera é a mesma que gera os números perfeitos, exceto por um pequeno detalhe que discuto mais adiante.
Antes de prosseguir, um alerta: Devido a limitações técnicas do Facebook, não é possível expressar uma potência de modo convencional, adotamos a seguir a linguagem das planilhas, ou seja, 2^n significa “2 elevado ao expoente n”.
Euclides mostrou que todos os números da forma [2^(n-1)].[(2^n-1)] são números perfeitos quando n = p (um número primo). Por exemplo:
· Se p = 2, a fórmula gera o número [2^(2-1)].[(2^2-1)] = (2^1).(4-1) = 2.3 = 6
6 é o primeiro número perfeito
· Se p = 3 então [2^(3-1)].[(2^3-1)] =(2^2).(8-1) = 4 . 7 = 28 (segundo número perfeito)
Na sequência gerada pela fórmula [2^(n-1)].[2^n-1] vamos encontrar o número 2016 em boa companhia, pois está cercado por dois números perfeitos consecutivos.
Se n = 5 -->2^(5-1).(2^5-1) = (2^4).(32 - 1) =16 . 31 = 496 é perfeito (pois 5 é primo)
Se n = 6 -->2^(6-1).(2^6-1) = (2^5).(64 - 1)= 32 . 63 = 2016
Se n = 7 -->2^(7-1).(2^7-1) = (2^6).(128 - 1) = 64 . 127 = 8128 é perfeito (pois 7 é primo)
Podemos dizer que 2016 tem cara de número perfeito, porque é gerado de uma fórmula semelhante, mas não tem cheiro nem gosto, porque não é um número perfeito, pois a soma de seus divisores próprios é 4536 > 2016, portanto 2016 é um número abundante.
A chave está no expoente “n” que aparece na fórmula, hoje sabemos que se o expoente n = p é um número primo, então há alguma chance de que o número gerado seja um número perfeito (embora isto não seja válido para qualquer número primo). Mas também sabemos que se n é um número composto, o número gerado não é um número perfeito, este foi o caso do nosso 2016 que foi gerado a partir de n = 6 (um número composto).
Mais curiosidades sobre 2016
Os aficionados por regularidades e teoria dos números são verdadeiros caçadores de padrões, muitos deles têm sido divulgados como mágicas ou meras curiosidades, mas para os que têm como objetivo a aprendizagem significativa com foco no raciocínio, seu valor extrapola o mero entretenimento. Trabalhar com padrões propicia oportunidades ricas para explorar com significado temas curriculares por meio da investigação e a resolução de problemas. Nos exemplos acima a exploração de números abundantes, deficientes e perfeitos dá outro sentido para os estudos sobre múltiplos e divisores. Nos exemplos abaixo é o estudo de potências de números naturais que fica mais interessante se relacionados a curiosidades numéricas.
2016 é soma de potências de 2:
2^5 + 2^6 +2^7 +2^8 +2^9 +2^10 = 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2016
Veja o que acontece quando colocamos 32 em evidência na soma:
32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 32.(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) = 32 . 63 = 2^5.(2^6-1) surge uma expressão numérica com o formato da fórmula de Euclides.
2016 é diferença de duas potências de 2:
Não tenha pressa em mostrar para os alunos (do 5º ao 7º ano) que potências são estas. Desafie-os a encontrá-las, eles só precisam ter alguma familiaridade com as potências de 2. A calculadora ajuda a gerar potências, basta teclar a sequência 2 x 2 = = = .. e observar os números que vão aparecendo no visor.
A estratégia dos alunos é identificar a potência de 2 mais próxima de 2016, que no caso é 2^11 = 2048, em seguida é só encontrar a potência que deve ser subtraída. Não é difícil eles encontrarem a solução 2^11 - 2^5 = 2048 – 32 = 2016.
2016 é soma de cubos perfeitos:
3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 = 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2016
Há muitas outras curiosidades sobre 2016 e também sobre quaisquer outros números, basta ter o desejo de investigar e descobrir.
Para os propósitos deste texto 2016 pode não ser um número perfeito, mas espero que o ano de 2016 seja.
Bigode
Autor das coleções Matemática do Cotidiano, Ed. Scipione
Criador da série Matemática em Toda Parte da TV Escola/MEC
Este texto inaugura o Blogode (www.matematicadocotidiano.com.br) para professores e interessados e a página Matemática Bigodal(www.facebook.com/matematica.bigodal) que pretende desafiar e interagir com alunos e outros interessados na matemática e no raciocínio, mostrando outro lado desta área do conhecimento, a Matemática como atividade humana, parte do patrimônio universal da humanidade, matemática como cultura.
Contribuições do Professor Vanderley
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