Trabalhar o completamento de quadrado em trinômios do segundo grau e aplicá-lo na resolução de equações do segundo grau.
· É recomendável que o professor leia a OP 12 – Equações do segundo grau.
· Cópias xérox do texto intitulado: “Completando quadrados para resolver equações do segundo grau” apresentado logo após a descrição dos procedimentos.
· Figuras recortadas em cartolina de acordo com os modelos apresentados. Cabe ao professor fornecer aos alunos as cópias das figuras em tamanho maior para facilitar o seu manuseio.
· Familiaridade com a linguagem algébrica.
· Saber operar com expressões algébricas básicas.
· Familiaridade com os produtos notáveis: “Quadrado da soma de dois números” e “Quadrado da diferença de dois números”
1) Distribuir para os alunos (ou grupos) o texto do item 6 desses procedimentos.
2) Discutir as soluções apresentadas pelos alunos (ou grupos) e fazer os comentários pertinentes.
3) O professor deve destacar para o aluno que o objetivo da atividade é a utilização da interpretação geométrica como recurso auxiliar no entendimento de fatos algébricos, proporcionando assim um método geral de resolução de equações do 2o grau que dispensa o uso de fórmulas.
4) Distribuir para os alunos (ou grupos) figuras em cartolina conforme recomendação acima.
5) Ao fim da atividade fazer uma síntese dos resultados, apresentando uma estratégia padrão para o completamento de quadrados, (Por exemplo: na equação
dividir o coeficiente do termo em x por 2, e somar o resultado da divisão à ambos os membros da equação), ilustrando-a com mais alguns exemplos
6) Texto:
Texto: “Completando quadrados para resolver equações do segundo grau”
1) Considere o seguinte problema: Pedro tem três lotes como na figura e quer comprar mais um lote vizinho para que o seu terreno fique com a forma de um quadrado de lado 40m.
Se o preço do metro quadrado é R$ 500,00, quanto ele vai pagar por esse lote?
Para resolvê-lo, responda as perguntas abaixo.
a) Com qual quadrilátero você deve completar o desenho acima para se ter um quadrado?
b) Quais são as medidas dos lados desse quadrilátero?
c) Qual é a sua área?
d) E então, quanto é que Pedro vai pagar pelo terreno?
2) Veja, agora, como usar um raciocínio parecido para descobrir o número que deve ser somado à expressão x2 + 18 x, de modo que ela possa ser escrita na forma (x + )2.
Para isso, faça o que se pede:
a) Associe a x2 um quadrado de lado igual a x,
b) Observe que 18 x = 9x + 9x. Associe então a 18x, dois retângulos de lados 9 e x.
c) Junte as 3 figuras obtidas em uma só, da seguinte maneira:
d) Agora responda: com que figura você deve completar o seu desenho para se ter um quadrado?
e) Quais são as medidas dos lados dessa figura?
f) Qual é o número que se deve somar a expressão x2 + 18x para que ela possa ser escrita na forma (x + )2 ?
3) Usando o produto notável (x + )2 = x2 + 2 x + 2 e comparando com a expressão x2 + 18x + 2, qual é o número que deve ser colocado no lugar do ?
4) Descubra agora o número que deve ser somado às expressões que se seguem para que elas possam ser escritas na forma (x + )2
a) x2 + 12x; b) x2 + 14 x; c) x2 + 20x;
5) Comparando as expressões x2 - 10x + 2 e (x - )2 = x2 - 2 x + 2, qual deve ser o número representado por ?
6) Descubra o número que deve ser somado às expressões que se seguem para que elas possam ser escritas na forma (x - )2
a) x2 - 16x; b) x2 - 4 x; ic) x2 - 36x;
7) Veja agora como descobrir o número que deve ser somado à expressão x2 + 6x + 6, de modo que ela possa ser escrita na forma (x + A)2 + B.
- Em primeiro lugar deve-se achar o número que deve ser somado a x2 + 6x para obter uma expressão da forma (x + A)2
- Depois deve-se somar e subtrair esse número à expressão x2 + 6x. Observe que isso equivale a somar zero à x2 + 6x , portanto essa expressão não se altera. Somando e subtraindo 9 à expressão x2 + 6x + 6 tem-se: x2 + 6x + 6 = x2 + 6x + 6 + 9 - 9.
- Agrupando-se convenientemente os termos, obtém-se o desejado:
- x2 + 6x + 6 = (x2 + 6x + 9) - 9 + 6 = (x2 + 6x + 9) - 3 = (x + 3)2 – 3
- Do mesmo modo somando e subtraindo 9 à expressão x2 + 6x + 12, tem-se:
- x2 + 6x + 12 = (x2 + 6x + 9) - 9 + 12 = x2 + 6x + 9 + 3 = (x + 3)2 + 3
O procedimento acima é usualmente chamado de completamento de quadrado.
8) Complete agora o quadrado de cada expressão, colocando-a na forma (x + A)2 + B.
a) x2 - 12x - 10; b) - x2 + 9x + 7 c) 4x2 - 20x - 5
d) a2 - 2a - 5 e) x2 + 3x - 4 f) 16 x2 + 8x + 1
Veja como usar esse fato para resolver uma equação do 2o grau.
Considere a equação: x2 + 6x –7 = 0
- Primeiro ache o número que falta para transformar x2 + 6x num trinômio quadrado perfeito. Esse número é o 9.
- Depois some e subtraia esse número na expressão, para que ela não se altere. Assim x2 + 6x – 7 = x2 + 6x – 7 + 9 – 9
- Agrupando os termos, obtém–se o desejado:
- x2 + 6x – 7 = (x2 + 6x + 9) – 9 – 7 = x2 + 6x + 9 –16 = (x + 3)2 – 16
- Tem–se portanto a seguinte equação : (x + 3)2 – 16 = 0
(x + 3)2 = 16
- Agora ache os números que elevados ao quadrado dão 16. Eles são o – 4 e o + 4.
- Logo x + 3 = – 4 ou x + 3 = 4
- As raízes são portanto: x = – 4 – 3 = –7 e x = 4 – 3 = 1, ou seja,essa equação tem duas raízes.
- Verifique então se os valores obtidos são de fato raízes da equação substituindo na equação: (– 7)2 + 6.(– 7) – 7 = 49 + 42 – 7 = 7 – 7 = 0 e 12 + 6.1 – 7 = 1 + 6 – 7 = 7 – 7 = 0.
9) Resolva agora as seguintes equações, usando o completamento de quadrado.
a) a) x2 + 10x – 11 = 0
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e) 4t2 + 20 t + 25 = 0
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b) 4x2 – 12x – 7 = 0
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f) 9x2 + 24x + 14 = 0
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c) n2 + 16n – 720 = 0
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g) 4x2 – 9x + 2 = 0
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d) x2 + x – 2 = 0
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h) y2 + 8y + 16 = 0
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Texto adaptado da coleção Matemática e Você, vol – Autores: Ângela Vidigal, Carlos Afonso Rego, Maria das Graças G. Barbosa e Michel Spira – MG: Ed. Formato,2002 – PNLD 2005.
É recomendável que o professor acompanhe o trabalho dos grupos para orientá–los nas eventuais dificuldades de interpretação e execução das tarefas propostas.
Algumas dificuldades que podem aparecer no completamento de quadrados são:
a) Expressões do tipo 2x2 + 12x, onde o coeficiente de x2 é diferente de 1.
b) Expressões do tipo x2 + 9x - 1, em que aparecem frações na manipulação algébrica.
Nesse caso, o professor deve destacar, pacientemente cada passo para que os alunos tenham tempo de assimilar com segurança todas as passagens algébricas envolvidas. Por exemplo:
· 2 ( x2 + 6x ) = 2 ( x2 + 2.3x + 32 - 32 ) = 2 [ ( x + 3 )2 - 9 ] = 2 ( x + 3 )2 - 18
· x2 + 9x - 1= (x2 + 2.
x +
) -
- 1 = ( x +
)2 -
-1 = ( x +
)2 -
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